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PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
LEY DE TRICOTOMÍA
En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación esverdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
 ;  ;
Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.
Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .
RELACIÓN TRANSITIVA

Ejemplo: Si a es mayor que b, y bes mayor que c, entonces, a es mayor que c.
Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Esto es:

Una relación R es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.
La relación binaria"menor que" en los enteros es transitiva:
DENSIDAD
Asimismo la recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.
Por ejemplo, ¿cómo podríamos hacer para encontrar un racional entre 5/4 y 6/4?
Una estrategia sería hallar elpromedio entre dichos números:

 
es decir que hemos encontrado a 11/8 tal que:
 
11/8 no es la única fracción comprendida entre 5/4 y 6/4 pues repitiendo el procedimiento podríamos encontrar, por ejemplo, otra fracción entre 5/4 y 11/8.
AXIOMA DEL SUPREMO
Axioma: es una proporción tan sencilla y evidente que se admite sin demostración
Axioma del supremo: todo conjunto no vacio y acotadosuperiormente posee un supremo

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro
Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:
a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:
a + m = b + c + mSuprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente
a + m > b +m

Ejemplos:
9 > 5
9 + 2 > 5 + 2
11 > 7 | -2 > -6
-2 -3 > -6 -3
-5 > -9 |

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de unmiembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:
6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambosmiembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:
am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:
am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:
12 > 7
12 * 3 > 7 * 3
36 > 21 | 15 > -25
15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5
3 > -5 |

3. Una desigualdadcambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:
-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,
-an < -bn

Si -n es recíproco de un...