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Conjuntos y relaciones

Ing. Bruno López Takeyas

Conjuntos y relaciones
• Introducción • Propiedades de las relaciones Sobre un conjunto Reflexivas Simétricas y transitivas • Cerradura • Relaciones de equivalencia • Órdenes parciales • Diagramas de Hasse

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Ing. Bruno López TakeyasIntroducción

Conjunto: Cualquier colección de objetos o individuos. Se denota con mayúsculas. Elemento: Cierto individuo x que es parte del conjunto A. Se identifican con minúsculas. Ejemplos:

A = { 0, 2, 4, 6, …}

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Operaciones con conjuntos
Axioma deextensionalidad: Sean A y B dos conjuntos. Entonces A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos miembros. Si A y B son iguales, escribimos A=B.

(A=B) ≡ ( x ∈ A ⇔ x ∈ B )
Definición:

Sea P una propiedad. La extensión de P, escrita {x | P(x)} se denomina notación de constructor de conjuntos.

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Subconjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Al conjunto A se le llama un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B. Sin embargo, no todo elemento de B necesita ser un elemento de A. Esto se expresa como A ⊆ B

A

B

A⊆B

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Subconjuntos propios
A es un subconjunto propio de B si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B. Esto se escribe A ⊂ B

(A ⊂ B) ≡ ( A ⊆ B ) & (A ≠ B)

Conjunto potencia
Al conjunto de todos los subconjuntos (propios o no) de un conjunto X, denotado P(X) se le llama conjunto potencia. P. ejem. Si A = { a, b, c } encontrar todos los subconjuntos propios.

⌀, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a, b, c}
Sólo que {a, b, c} no es subconjunto propio

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Cardinalidad de un conjunto
Sea A un conjunto con un número finito de elementos. La cardinalidad de A representada por |A| o #A, es igual al número de elementos en A(A ⊂ B) ⇒ ( |A| < |B|)

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Intersección
Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A ∩ B llamado intersección de A y B es el conjunto que contiene todos los elementos comunes a ambos A y B

x ∈ (A ∩ B) ≡ ( x ∈ A ) & ( x ∈ B ) A ∩B = { x | x∈ A &(x∈ B }

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Unión
Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A

⋃

B, llamado unión de A y

B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen o bien a A o bien a B.

x ∈ (A ⋃ B) ≡ ( x ∈ A ) V ( x ∈ B ) A⋃ B={x|x∈ A V (x∈ B}

A⋃ Bhttp://www.itnuevolaredo.edu.mx/takeyas Email: takeyas@itnuevolaredo.edu.mx

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Diferencia
Sean A y B dos conjuntos. El conjunto A-B, llamado diferencia de A y B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B

x ∈ (A - B) ≡ ( x ∈ A ) & ( x ∉ B ) A -B = { x | x∈ A &(x∉ B }

A–B
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Complemento
Sean A un conjunto. El complemento de A, se escribe ~A, es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A.

x ∈ ~A ≡ ¬ ( x ∈ A ) ~A = { x | x ∉ A}

A ~A
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Tuplas...