Tareas

Definición de determinante
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A , denotado por |A| o por det (A).
Determinante de orden uno
|a 11| = a 11
Determinante de orden dos
 = a 11 a 22 - a 12 a 21
Determinante de orden tres
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 -
- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

Regla de Sarrus
Los términoscon signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Menor complementario
Se llama menor complementario de un elemento aij al valor deldeterminante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
Adjunto
Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:
* El signo es +    si  i+j  es par.
* El signo es -    si  i+j  es impar.
El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:

Determinante de ordensuperior a tres
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 .
Seguiremos los siguientes pasos:
1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor númeroposible de elementos nulos).
2.En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de loselementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).
2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decirsacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.
3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.
4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.
Propiedades de los determinantes
1.|At|= |A|
2. |A|=0    Si:
Posee dos líneasiguales
Todos los elementos de una línea son nulos.
Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.
3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..
4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.
5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralelamultiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.
6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.
7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.
8. |A·B| =|A|·|B|

Matriz inversa

Rango de unamatriz
El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.
Cálculo de la matriz inversa

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igualal inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

Cálculo por el método de Gauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad Ien la derecha.
Consideremos una...