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En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generarenergía y radiaciones ionizantes.
Definición de función exponencial
Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica(ver t36), por cuanto se cumple que:

Ecuaciones exponenciales
Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.
Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:
Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de laecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:
Ax = Ay.
En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y.
Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.
Las funciones exponenciales se usan enaún más contextos, incluyendo poblaciones y crecimiento bacterial, decaimiento radioactivo, interés compuesto, enfriamiento de objetos y crecimiento de fenómenos como infecciones de virus, uso de Internet y popularidad de las modas.

Qué son los fenómenos exponenciales y logarítmicos? 
    Los fenómenos en los que una cierta magnitud tiene un ritmo constante de variación pueden describirsemediante rectas y la pendiente de la recta indica el ritmo de cambio. Pero si el ritmo al que varía con el tiempo una magnitud es proporcional a su cantidad presente, entonces el cambio será tanto más rápido cuanto más cantidad haya disponible, con lo que el proceso se acelera más y más.
Las funciones que dan cuenta de este tipo de comportamientos son las exponenciales. Sirven de modelo a fenómenos tandispares como la evolución de poblaciones, desintegración radiactiva, intereses de capital, 1.- catenaria, número áureo, etcétera. 
    Las funciones inversas de las exponenciales se denominan logarítmicas. El término logaritmo proviene de las raíces griegas logos y arithmos, y viene a significar «números para calcular». Durante siglos fueron instrumento esencial a la hora de realizar cálculoscomplicados. Los logaritmos varían muy lentamente, lo que les hace ser escala numérica adecuada para medir fenómenos naturales que implican números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, la de los movimientos sísmicos, la datación de restos arqueológicos, etc. los modelos funcionales que se rigen por las funciones exponenciales, la importancia que tiene éstos en la vida cotidiana y siobservamos la función logarítmica como inversa de la función exponencial, comparar los modelos inversos que conllevan. Se hace necesario, para ello, conocer su definición. 
El poder de los logaritmos consiste en su utilidad para resolver ecuaciones exponenciales. Algunos ejemplos incluyen sonido (medidas de decibeles), terremotos (escala Richter), el brillo de las estrellas y química (balance de pH,una medida de acidez y alcalinidad).

Ejemplos Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales.     
Aplicación química
Una sustancia radioactiva pierde un 10 % de su masa cada hora. Dicho de otra manera, se queda sólo con el 90 %. Por ejemplo, si partimos de 200 gramos, dentro de una hora habrá 180 gramos, porque se perdieron por descomposición radioactiva 20 gramos. En la hora siguiente se...