Tareitas

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).

Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construirnuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:


p
p'
1
0
0
1
A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dosproposiciones p,q y sus tablas de verdad:

Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
Se escribe p Ù q, y se lee "p y q".


p
q
p Ù q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera,y falsa en caso contrario. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q".


p
q
p Ú q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera,
y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.p
q
p Ú q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la
condición necesaria q es falsa. Se escribe p Þ q, y se lee "si p entonces q".


p
q
p Þ q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Bicondicional: es aquella proposición que esverdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad,
y falsa en caso contrario. Se escribe p Û q, y se lee "si y sólo si p entonces q".


p
q
p Û q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ú p'.Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ù p'.

Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa".


Dosproposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p Û q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones

p Þ q

y

q' Þ p'

son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos porreducción al absurdo.
Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos.







Números naturales : principio de inducción


Admitivos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente:

N = { 1,2,3,4,5, ... }

Cuando se quiere demostrar que una proposiciónrelativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:

"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que

m Î S

y que

n Î S Þ n+1 Î S
Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"

(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1).


Algunas...