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Bloque : Álgebra





Unidad Didáctica 3
El lenguaje algebraico. Polinomios.


1. Monomios.

Un monomio es el producto indicado de un número (coeficiente) por una o varias letras elevadas a unos exponentes (parte literal).

Cada una de las letras que componen la parte literal de un monomio se denomina variable.

Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen lamisma parte literal, es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes respectivos.

Se llama grado de un monomio al número que resulta de sumar los exponentes de las letras que constituyen su parte literal. Los números son monomios de grado 0 , puesto que x0 = 1.

Se llama valor numérico de un monomio, para ciertos valores de las letras que intervienen, al número que seobtiene al sustituir las letras por estos valores y efectuar las operaciones indicadas.


1. En cada uno de los siguientes monomios identifica el coeficiente y la parte literal, halla el grado y el valor numérico para los valores x=3, y=–2, z=5:
(a) 3x2 (b) 4x2y (c) –5x2y2z2 (d) y3z (e) 4

[Solución: (a) 2; 27 (b) 3; –72 (c) 6; –4500 (d) 4; –40 (e) 0; 4 ]


2.Operaciones con polinomios.

Para sumar o restar monomios, hay que operar de la misma forma a como se hacía con los radicales:

(1) Los monomios han de ser semejantes, ya que si no lo son, no se pueden sumar y hay que dejar la operación indicada.
(2) Se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Ejemplo: 3x2ab + 5x2ab – 2xab = 8x2ab – 2xab .

Paramultiplicar o dividir monomios, se multiplican o dividen los coeficientes por una parte y las partes literales por otra, teniendo en cuenta como se multiplican y dividen potencias de la misma base.

Ejemplo:



2. Efectúa las siguientes operaciones con monomios:
(a) 5x – 3x + x (c) (7x2)·(–5x3)
(b) 7x3 + 3y3 – 11x3 – y3 (d)
(e) (f)

[Solución: (a) 3x(b) –4x3 + 2y3 (c) –35x5 (d) 42x/5 (e) –x4/4
(f) –8x6/15]






3. Polinomios.

Un polinomio está formado por sumas y diferencias de dos o más monomios. Cada uno de los monomios que componen el polinomio se llama término del polinomio. Si un polinomio tiene dos términos se le llama binomio, si tiene tres trinomio, y así sucesivamente. Al término que notiene letras se le denomina término independiente.

Aunque se puede trabajar con polinomios con varias letras (variables), nosotros vamos a estudiar sólo los polinomios en una variable, la x y lo denotaremos por P(x).

Se dice que un polinomio está en forma reducida cuando están efectuadas todas las sumas posibles de monomios semejantes, y que está ordenado cuando los términos que lo componenestán ordenados de mayor a menor exponente de la x.

Se llama grado de un polinomio al mayor exponente de la x que aparece en la forma reducida del polinomio.

El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a, es el resultado que se obtiene al sustituir x por a, y realizar las operaciones indicadas.


3. Escribe en forma reducida y ordenada los siguientes polinomios. ¿Cuál es su grado?(a) 5x + 6x2 – 8x + x3 – 6x2 + 4 (c) 4 + x + 2x4 – x2 + 5x3 + 4x4 – 3 + 4x2– 6x4
(b) 2x – 4x2+ x3 – x2 + 4x3– x – 5x3

[Solución: (a) x3 – 3x + 4; 3 (b) – 5x2+ x; 2 (c) 5x3 + 3x2 + x + 1; 3 ]

4. Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x3 + 2x2 – x + 1 para los valores de x:
(a) x = 5 (b) x = –1 (c) x = ½ (d) x=–2/3

[Solución: (a) 171 (b) 3 (c) 9/8(d) 61/27 ]


4. Operaciones con polinomios.

Para efectuar cualquier operación con polinomios, lo primero que tenemos que hacer es escribirlo en forma reducida y ordenada.

Para sumar o restar dos polinomios, se suman o restan sus monomios semejantes.

En la práctica, lo que se suele hacer es colocar los dos polinomios ordenados en forma decreciente uno debajo de otro de forma que...