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Sistema de coordenadas en el espacio.
Para comenzar, considere tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares
(los ejes x, y, z) con sus ceros en un punto común O, llamado el origen. Aunque
estas líneas se pueden orientar de cualquier forma deseada, seguiremos la
costumbre de pensar en los ejes y y z como si estuvieran en el plano del papel,
con sus direcciones positivas hacia laderecha y hacia arriba, respectivamente.
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje z,
perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes x e y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: xy, xz e yz. Estos
planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en elprimer octante las tres coordenadas son positivas.

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Vector en el espacio.
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un
punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2)
componentes del vector

Las coordenadas o

son las coordenadas del extremo menos lascoordenadas del origen.
Ejemplo.
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo
de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

= (3 +3 , 6 -4 , 3 -0 ) = (6 , 2 , 3 )

= ?

= (-1 +3 , 2 -4 , 1 -0 ) = (2 , -2 , 1 )

= ?

= (-1 -3 , 2 -6 , 1 -3 ) = ( -4 , -4 , -2 )

= ?

2

Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmentoorientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo
tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes
= (u1, u2, u3)
Ejemplo.
Dados los vectores

= (3, 1, -1) y

= (2, 3, 4), hallar los módulos de

y

·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos
La distancia entre dospuntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos
dichos puntos.

Ejemplo.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

3

P unto me di o e n R 3
El punto medio del segmento de recta que une a los puntos (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2)
tiene coordenadas (

,

,

).

Ejemplo.
Halle las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une los puntos.(5, -9, 7) y (-2, 3, 3).

V e c tor uni ta ri o
Un vector unitario tiene de módulo la unidad. La normalización de un vector
consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el
vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos
Dados = (2, 1, 3), = (1,−1, 0),
= (1, 2, 3), hallar el vector
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

Dados los vectores

y

= 2u + 3v − w.

, hallar el módulo del vector

4

Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k
por un vector
es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector
si k es positivo.
De sentido contrario del vectorsi k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por k las
componentes del vector.
Ejemplo
Dado

= (6, 2, 0) determinar

de modo que sea 3

=

.

De fi ni c i ón de ve c tore s pa ral e l os .
Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c talque
u = cv.
Ejemplo.
El vector w tiene punto inicial (2, -1, 3) ypunto final (-4, 7, 5). ¿Cuál de los
vectores es paralelo a w?
a) u =
b) v = Resolverlo en el aula de clase.

Notación empleando los vectores unitarios

a) Expresar el vector v= 4i -5k por medio de sus componentes.
b) Hallar el punto final del vector v= 7i –j +3k, dado que el punto inicial es
P(-2, 3, 5).
Solución.
a) Como falta j, su componente es 0 y v= 4i -5k =
b) Se necesita...