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Computación aplicada a procesos químicos Resolución de ecuaciones algebraicas no lineales Método de Regula falsi
La técnica de interpolación lineal o Regula falsi (falsa posición o regla falsa)se basa en la interpolación lineal entre dos puntos de la función f(x) que cumplen con la condición de encontrarse a ambos lados de la raíz. Por ejemplo, xa y xb de la figura 1 están localizadosa ambos extremos de la raíz x* de la función no lineal f(x). Los puntos (xa , f(xa)) y (xb , f(xb)) se conectan por una línea recta:

y ( x ) = mx + b

...(1)

f(xb)

f(x) 0 f(xa) xa xcx x* xb

Como esta línea recta pasa entre los puntos (xa , f(xa)) y (xb , f(xb)), la pendiente está dada por:
m= y la ordenada al origen de esa línea recta es: b = f ( xb ) − mxb Sustituyendolas ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) obtenemos que: ...(3) f ( xb ) − f ( x a ) xb − x a ...(2)

⎧ ⎡ f ( xb ) − f ( x a ) ⎤ ⎡ f ( xb ) − f ( x a ) ⎤ ⎫ y( x) = ⎢ x + ⎨ f ( xb ) − ⎢ ⎥ ⎥ xb⎬ xb − x a xb − x a ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩

...(4)

Por medio de la ecuación (4) se puede localizar el punto xc en donde la recta cruza el eje-x de tal forma que y(xc) = 0:

1

⎧ ⎡ f ( xb ) − f (x a ) ⎤ ⎡ f ( xb ) − f ( xa ) ⎤ ⎫ y ( xc ) = ⎢ ⎥ x c + ⎨ f ( xb ) − ⎢ ⎥ xb ⎬ = 0 xb − x a xb − x a ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩ Despejando xc:
⎛ f ( xb ) − f ( x a ) ⎞ ⎜ ⎟ xb − f ( xb ) ⎜ ⎟ xb − x a ⎝ ⎠ xc = f (xb ) − f ( x a ) xb − x a xc = xb − f ( xb )( xb − x a ) f ( xb ) − f ( x a )

...(5)

...(6)

De la figura anterior puede apreciarse que el punto xc está más cerca de la raíz x* de lo queestaba el valor de xa. Ya que la función evaluada en xc tiene el mismo signo que f(xa), el nuevo estimado de x se determina con la ecuación (6) sustituyendo xa y f(xa) por los valores de xc yf(xc). Este procedimiento se hace hasta que se encuentra el valor x* que hace que f(x*)=0. Si definimos a x+ como el valor de x que hace que f(x) > 0 y a x- como el valor de x que hace que...