Tautología, contradicción e inferencia lógica

Tautología, contradicción e inferencia en lógica


Asignatura: Matemáticas discretas


Tautología
Una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.

En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad (V) en todos los casos posibles de los valores deverdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran, o de un modo más sencillo: la supuesta explicación de algo mediante un axioma, la “explicación” o definición de algo mediante una ligera variación de palabras que tienen en conjunto el mismo significado ya conocido de lo supuestamente explicado.
Tautología: en todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por loque el argumento es válido.
En la lógica proposicional, una tautología es un caso especial de proposiciones lógicas caracterizadas por tener exclusivamente el valor verdadero en la columna final de su tabla de verdad, independientemente del valor de las demás proposiciones. Las tautologías son muy comunes, y algunas de ellas muy importantes, tanto, que constituyen leyes o principios lógicos. Lavalidez lógica es justamente el que no puede darse el caso de que siendo verdad el antecedente, no lo sea el consecuente. Todos los argumentos deductivos válidos son tautologías, por definición.
Ejemplo:
(pq)→p

Los valores que arrojan la tabla de verdad para cada caso de p y q son verdaderos, por lo cual se puede decir que se está hablando de una tautología.

Contradicción
Se entiende porproposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras.

Ejemplo:
pq↔¬p¬q

Todos los casos de p y q arrojan falso enla proposición, por lo tanto se está hablando de una contradicción.

Reglas de inferencia
MODUS PONENDO PONENS (PP)
p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)
p “Llueve” (premisa)
q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)
El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).

MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)
 
‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.
p → q “Sillueve, entonces las calles se mojan”    
¬q “Las calles no se mojan”                                                                
¬p “Luego, no llueve”
 
Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.
Esto nos permite formular una regla combinada delas ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en unúnico sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.

DOBLE NEGACIÓN (DN)
¬¬p ↔ p
El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:
¬¬p “No ocurre que Ana no es una estudiante”
P “Ana es una estudiante”
La regla ‘doble negación’, simplemente...