Taylor

Teorema de Taylor


La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).
En cálculo, el teoremade Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permiteobtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimaciónContenido[ocultar] * 1 Caso de una variable * 2 Caso de varias variables * 2.1 Demostración * 3 Demostración * 4 Referencia * 4.1 Bibliografía |
Caso de una variable
Este teoremapermite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Másformalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [, ] y +1 veces en el intervalo abierto (, ), entonces se cumple que:[1]
(1a)
O en forma compacta
(1b)
Dondedenota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación:
(2a)
donde y , pertenecen a losnúmeros reales, a los enteros y es un número real entre y :[2]
(2b)
Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se exponecomo una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculointegral.
Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de...