Taylor

Tarea 9: Interpolación de Lagrange
Modelación y Análisis Numérico
April 11, 2013
Uno de los usos frecuentes de la interpolación es la aproximación de funciones que pueden ser
difíciles decalcular. En este caso, si se quiere aproximar una función f en el intervalo [a, b] con un
polinomio de orden k, es necesario tomar k+1 puntos igualmente espaciados que incluyen a a y b. Por
ejemplo, si elorden es 4, se tomaría xi = {a, (3a + b)/4, (2a + 2b)/4, (a + 3b)/4, b} como los puntos
conocidos en la interpolación. Se calcularía f (xi ) y para calcular los demás puntos en el intervalo, sepuede aproximar la función como:
• Interpolación de Lagrange:
n

Li (x)f (xi )

fn (x) =

donde

Li (x) =

i=0

j=i

x − xj
xi − xj

• Interpolación de Newton:
fn (x) = bo + b1 (x −x0 ) + ... + bn (x − x0 )(x − x1 )...(x − xn−1 )
donde
bn = f [xn , xn−1 , ..., x0 ] =

f [xn , xn−1 , ..., x1 ] − f [xn−1 , xn−2 , ..., x0 ]
xn − x0

Ahora bien, considere la solución de laecuación de Boussinesq (que proporciona el esfuerzo en una
esquina de una zapata):
q
σ(z) =
4∗π

√
2mn m2 + n2 + 1
m 2 + n2 + 2
+ sen−1
∗
m2 + n2 + 1 + m2 n2 m2 + n2 + 1

√
2mn m2 + n2 + 1m2 + n2 + 1 + m2 n2

Donde m y n son razones adimensionales definidas por m = a/z, n = b/z, a y b son las dimensiones
de la zapata, z es la profundidad debajo de esta y q es la carga por unidad deárea. Para este ejemplo
tome a = 4.6 m, b = 14 m y una carga Q = 1000 kN (donde q = Q/(a ∗ b)).

Detalles de la Entrega
Realice una implementación de Interpolación de Lagrange y de Interpolaciónde Newton que aproxime
la función σ(z) en el intervalo x (0, 30] en Python. Tenga en cuenta que:
• Es necesario que el programa sea capaz de generar al menos la interpolación de orden 2, 4 y 6.

1• El programa debe mostrar una tabla en consola que incluya el orden de la interpolación y el error
absoluto máximo que se presenta en la interpolación.
• El programa debe generar una gráfica...