Taylor

Cálculo diferencial
Grupo: 1148

“Serie de Taylor y de Maclaurin”

Serie de Taylor
  * Teorema
Una serie de potencias de x convergente se adapta al propósito de calcular elvalor de dicha función que representa para valores pequeños de X.
La serie de Taylor es un desarrollo de potencias (x-c), donde a es un número fijo. ( se podría decir que ambas series soniguales exceptuando la parte de a, ya que en la serie de Maclaurin tiene valor de C = 0).
La serie que aquí se obtiene se adapta al objeto de calcular la función que representa paravalores de X cercanos a C.
Supongamos que:
F(x)= a0 + a1 (x-c) + a2(x-c)2 + …+ an (x-c)n   + …,
Y que esta serie representa a la función.
La forma necesaria en que deben de ir loscoeficientes a0 , a1 , etc., se obtiene derivando sucesivamente f(x). así se obtiene:
F´(X)= a1 + 2a2 (x-c) + 3a3 (x-c)2 + …+ nan(x-c)n-1 +…
F´´(x) = 2a2 + (2*3)a3 (x-c)+ …+
F´´´(x)=(2*3)a3 + (2*3*4)a4(x-c)+…
Etcetera.
Si se sustituye x=c en estas ecuaciones y en f(x)   y despejando b0 , b1 , b2 , etc se obtiene que:
F(c) = a0
F´(c) = a1
F´´(c) =(1*2)a2       a2 =  f´´(c)
                                              2!

F´´´(c) =(2*3)a3
Entonces queda:
F(n)(a)=!n an
Y si se despeja an   an=   F(n)(c)
                                                 n!

Sustituyendo estos valores en f(x) queda:
F(x) = f(c ) + f´(c) (x-c)   + f´´(c) ( x-c)2           +…+     f(n)(c)   (x-c)n       + …
                                 1!                     2!                                     n!
Serie o fórmula de taylor

Serie de Maclaurin
  * Teorema
La serie de Maclaurin es una manera de representar unafunción mediante una serie de potencias.
Una serie convergente de potencias de x es una función de x para todos los valores dentro del intervalo de convergencia. De esto se...