Taylor

SERIE DE TAYLOR.

Su forma generalizada es:

En donde a0, a1, a2, a3,… an son coeficientes de combinación
1, (xi+1-xi), (xi+1-xi)2, (xi+1-xi)3,…, (xi+1-xi)n son las funciones linealmente independientes que conforman una base del espacio vectorial de las funciones continuas.

Cualquier función está representada por este polinomio.

Representar una función con este polinomio es lo que sedenomina desarrollo en serie de Taylor o expansión en serie de Taylor.

Para describir completamente este polinomio, evaluaremos los coeficientes de combinación y los haremos mediante derivación sucesiva.

El polinomio de Taylor, que es la combinación lineal de la base 1, (xi+1-xi), (xi+1-xi)2, (xi+1-xi)3,…, (xi+1-xi)n , es un generador de funciones continuas dentro de su espacio vectorial dedimensión infinita. Los valores de los coeficientes son los valores de la función y sus derivadas, todas evaluadas en un punto base o punto de expansión xi, lo que implica

La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos de la función y sus derivadas en otro punto.

Teorema
Si una función f tiene derivadas continuas de órdenes 0, 1, 2, …, (n+1)en un intervalo cerrado I=[a,b],entonces para cualquier c y x en I,

donde el término de error En+1puede estar dado en la forma
Aquí ξ es un punto que se encuentra entre c y x y de depende de ambos.

Teorema del valor medio:
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y tiene una derivada en cada punto del intervalo abierto (a,b), entonces para alguna en (a,b).

Por lotanto, el cociente [f(b)-f(a)]/(b-a) es igual a la derivada de f en algún punto entre a y b; esto es, para algún Є (a,b)

El primer término de la serie es f(xi+1)=f(xi) y se le conoce como aproximación de orden cero.Donde xi es el punto base
Si la función no cambia da una estimación casi perfecta ≈ cte.
Si la función cambia se requieren términos adicionales.

La aproximación de 1er orden setiene sumando otro término al anterior.
f(xi+1) f(xi) + f’(xi)/1! (xi+1 - xi)1

y = b + m x

término de 1er orden, es para tener una tendencia lineal

entonces se le agrega un término de segundo orden para obtener una curva y tener una mejor aproximación

y = b + m x + n x 2 como una ecuación polinomial.de igual manera se puede agregar términos adicionales para desarrollar la expansión completa de la serie de Taylor.
xi=0
xi+1
f(xi+1)=f(xi)
f(xi+1) f(xi) +f’(xi)/1! (xi+1- xi)1
h
f(xi)
x
orden cero
1er. orden
2do orden

Entonces la Serie de Taylor queda de la siguiente manera:
se incluye el término residual para considerar todos los términos desde n+1 hasta el infinito.

Donde n=indica que el residuo es de la aproximación a enésimo orden.
= cualquier valor entre xi y xi+1 (puede usar la función random o función aleatoria en computación), este valor da una estimación exacta del error, puede ser un valor promedio entre ellos o inclusive podemos usar el teorema del valor medio.

Se puede simplificar convenientemente la serie de Taylor definiendo un paso h=xi+1 - xif(x)
xi
f(xi)
xi+1
Ro
Predicción exacta
Predicción de orden cero
h
x

Residuo para la expansión en serie de Taylor.

n=0
f(xi+1)f(xi)

Simplificando el residuo: Rof'(xi)h
esto da una inexactitud

Una alternativa es el teorema del valor medio: si una función f(x) y su primera derivada son continuas sobre el intervalo xi a xi+1, existe al menos 1 punto sobre la función que tieneuna pendiente dada por f'(), que es paralela a la que une f(xi) con f(xi+1).

f(x)
xi

xi+1
Ro
Pendiente=m=f'()
h
x
n=1 , =(f(xi)+f(xi+1))/2

o

f'()=(f(xi+1)-f(xi))/(xi+1-xi)

Uso de serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento

Truncando la serie después del término con la 1ª deriv:
f(xi+1)=f(xi)+ f'(xi)(xi+1-xi)+R1

la resolvemos
Aprox a 1er ordenEtrunc...