Tazas Complementarias

Universidad del Valle de Guatemala
MM2001 Cálculo 2
Sección 20
Merly López,  08050
Karen Tojín,  08091

Proyecto Final: Tazas de Café ComplementariasConsidere que Hene que elegir de dos tazas de café del Hpo que se muestra, una  que se curva 
hacia afuera y una hacia adentro, y observe que Henen la misma altura y sus formas se ajustan 
cómodamente entre sí. Le sorprende que una taza tenga más café. Naturalmente podría llenar 
una  taza con agua y vertería el contenido en la otra pero, como estudiante de cálculo, decide 
un planteamiento más matemáHco. Ignorando  el asa de cada una, observe que ambas tazas 
son  superficies de  revolución, de  esta manera  puede pensar  del  café como  un  volumen  de 
revolución. 

1.Considere que las tazas Henen la altura h, la taza A se forma por la rotación de la curva 
  alrededor  del eje  y,  y  la  taza  B  se forma por la rotación de la misma curva 
alrededor  de  la  línea 

. Hallar  el  valor  de    tal que las  dos  tazas contengan  la misma canHdad de café.
2. ¿Qué le expresa el  resultado  del problema 1 con respecto  a las áreas A1  y  A2  que  se 
muestran en la figura?
3.Aplique el teorema de Pappus ara explicar su resultado en los problemas 1 y 2.
4. Con respecto a sus medidas y observaciones,  sugiera un  valor  para  h y  una ecuación 
para 
 y calcule la canHdad de café que conHene cada una de las tazas.

Solución:Para encontrar k en el primer inciso se encontró el volumen de ambas tazas, y se igualaron los 
volúmenes. Dado que solo el volumen de la taza B estaba en función de k, se despejo la igualdad para encontrar el valor de k.

Para la taza A:

Para la taza B:

Igualando las ecuaciones para  y 

:

El  valor  de  k para el cual la canHdad  de café en  cada taza es el mismo  es  el cuadrado  de la función f(y), o cero. Lo cual hace senHdo también, puesto que cero equivale a x=0, es decir el 
eje x.
El resultado del inciso 1 indica que las áreas A1 ...