Tc3001 Resueltos02

Optimizaci´on y Programaci´on Lineal
Problemas resueltos con el m´etodo gr´afico
4 de junio de 2014
1. Resuelva el siguiente PL por el m´etodo gr´afico
Max z = x1 + x2
Sujeto a:
x1 + x2 ≤ 4
x1 − x2 ≥5
x1 , x1 ≥ 0
Soluci´
on
En la figura 1 se observa que la regi´on factible es vac´ıa.
2. Resuelva el siguiente PL por el m´etodo gr´afico
Max z = 4 x1 + x2
Sujeto a:
8 x1 + 2 x2 ≤ 16
5 x1 + 2 x2 ≤12
x1 , x1 ≥ 0
Soluci´
on
En la figura 2 se observa que las curvas de nivel de la funci´on objetivo son paralelas a un lado de
la regi´on factible que es hacia donde crece el valor de la funci´onobjetivo. Dos posibles soluciones
son P (x1 = 4/3, x2 = 8/3) y Q(x1 = 2, x2 = 0) ambas con evaluaci´on z = 8. Pero cualquier punto
en el segmento P Q ser´a m´aximo. Por tanto, el problema PL tendr´a m´ultiples soluciones.
3. Resuelva el siguiente PL por el m´etodo gr´afico
Max z = −x1 + 3 x2
Sujeto a:
x1 − x2 ≤ 4
x1 + 2 x2 ≥ 4
x1 , x1 ≥ 0
Soluci´
on
En la figura 3 se observa que la regi´on factible noes acotada y hacia donde las curvas de nivel
crecen es en la direcci´on de no actotamiento. Por tanto, el PL no tendr´a soluci´on ´optima y no es
acotado.
1

(0, 4)

x1 + x2 ≤ 4
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
(4, 0)(5, 0)

(0, −5)

x1 − x2 ≥ 5

Figura 1: Soluci´on ´optima al problema 1

(0, 8)
8 x1 + 2 x2 ≤ 16

(0, 6)
5 x1 + 2 x2 ≤ 12

P (4/3, 8/3)

∇z
(12/5, 0)
Q(2, 0)
z=8

Figura 2: M´
ultiples soluciones alproblema 2

2

z = 26
z = 22
∇z
z = 18
z = 14
z = 10
z=6
z=2
(0, 2)

(4, 0)
x1 + 2 x2 ≥ 4
x1 − x2 ≤ 4

Figura 3: No acotamiento en el problema 3
4. Leary Chemical produce tres productos qu´ımicos: A,B y C. Estos productos se obtienen mediante
dos procesos: 1 y 2. El funcionamiento del proceso 1 durante una hora cuesta 4 d´olares y produce 3
unidades del producto A, 1 unidad del producto B, y 1unidad del producto C. El funcionamiento
del proceso 2 durante 1 hora cuesta 1 dolar y produce 1 unidad del producto A y 1 unidad
del producto B. Para satisfacer la demanda de los clientes hay que...