tdsCinetica

Cinética
Índice
1. Introducción

2

2. Cantidad de movimiento
2.1. Teorema del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2

3. Momento cinético
3.1. Teorema de König relativo al momento cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3

4. Energía cinética
4.1. Teorema de König relativo a la energía cinética

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

4
4

punto de velocidad nula
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5
5

6. Atributos cinéticos de un sólido libre
6.1. Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Momento cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
6
6

A. Teorema del transporte de Reynolds

7

5. Atributos cinéticos de un sólido con
5.1. Cantidad de movimiento . . . . . .
5.2. Momento cinético . . . . . . . . . .
5.3. Energía cinética . . . . . . . . . . .

un
. .
. .
. .

1.

Introducción

La Cinéticaes la parte de la Mecánica encargada de definir y calcular los atributos cinéticos de
un sistema material arbitrario X en un movimiento dado.
Recalcar el hecho de que no existe ninguna restricción sobre el tipo de movimiento, y eso incluye
al referente del mismo, hasta el punto de que será habitual usar un movimiento genérico que satisfaga
las ligaduras geométricas. El movimiento real que tenga elsistema vendrá determinado a posteriori
por las ecuaciones generales de la Dinámica.
Con el movimiento, además de las magnitudes de la geometría de masas, hacemos intervenir el
tiempo, por lo que ya tenemos las tres magnitudes fundamentales de la Dinámica: masa, longitud y
tiempo.
Los atributos cinéticos de interés van a ser:
Cantidad de movimiento
Momento cinético
Energía cinética
Pasemos adefinirlos y a calcularlos.

2.

Cantidad de movimiento

Sea O1 x1 y1 z1 el sistema referente del movimiento a considerar S1 .
Se define la cantidad de movimiento de una partícula
material M i o la cantidad de movimiento elemental como:
c¯i = mi v¯i

↔

z1

d¯
c = v¯dm

X (i = 1, . . . , N)

Es una magnitud vectorial con dimensiones de masa
por longitud dividido por tiempo: [¯
c] = M L T−1 .
Se definela cantidad de movimiento de un sistema material X como una magnitud extensiva de la siguiente forma:

M i (mi )
r¯i
O1

v¯i

y1

N

C¯ =

mi v¯i
i=1

↔

C¯ =

v¯ dm
X

Si consideramos el sistema de vectores deslizantes can- x1
tidad de movimiento (¯
ci = mi v¯i , d¯
c = v¯dm), la cantidad de
movimiento será su resultante, que como tal se considera
un vector libre.
El cálculo de esta magnitudparece ligado a la resolución de la integral correspondiente. Sin
embargo, se va a enunciar y demostrar un teorema que simplifica el cálculo de forma notable.

2.1.

Teorema del centro de masas

Por la definición de centro de masas se tiene:
r¯dm
⇒ m¯
rG =
r¯dm
r¯G = X
dm
X
X
Derivando respecto al tiempo en la expresión anterior en el sistema referente del movimiento elegido,
se tiene1 :
d( X r¯dm) ∗d¯
rG
d¯
r
m
=
=
dm ⇒ m¯
vG =
v¯dm = C¯
dt 1
dt
1
dt
1
X
X
1

Véase el apéndice para la justificación del paso indicado con *

Luego la cantidad de movimiento de un sistema es la que tendrá toda su masa concentrada en el
centro de masas y animada con la velocidad de este punto.

3.

Momento cinético

Se define el momento cinético de una partícula material M i o el momento cinético elementalrespecto a un punto O1 como el momento de la cantidad de movimiento:
¯ i = r¯i ∧ mi v¯i ↔ dH
¯ O = r¯ ∧ v¯dm
H
O1

1

Es una magnitud vectorial con dimensiones de masa por longitud al cuadrado dividido por tiempo:
¯
[HO1 ] = M L2 T−1 .
Se define el momento cinético de un sistema material X respecto a O1 como una magnitud
extensiva de la siguiente forma:
N

¯ O1 =
H

r¯i ∧ mi v¯i

↔

¯ O1 =
H

r¯ ∧ v¯...