Te Rico 1 Binomio De Newton 2014

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico

CONJUNTOS DE NÚMEROS Y COMBINATORIA.
SUMATORIA
Una función cuyo dominio consta precisamente de los enteros positivos (o algún otro
subconjunto de enteros) se llama sucesión. En lugar de la notación funcional a(n) es más



frecuente el uso de a n . Así podemos denotar por ejemplo a la sucesión a n  determinada por
a n  n2

a   1, 4, 9, 16,...
n

o la sucesión b n  determinada por b n  n1 .

b   11 , 12 , 13 , 14 ,...
n

Algunas veces indicaremos una sucesión mediante unos cuantos de sus primeros valores
seguidos por puntos suspensivos; por ejemplo
a1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...

O bien

1, 4, 9, 16,...
Notación sigma  : Considere la suma

12  22  32  42  ...  1002
Para indicar esta suma en una forma compacta, escribimos
100

k

2k 1

En tanto que para la suma:
a1  a 2  a 3  a 4  ...  a n
La forma compacta es:
n

a
k 1

k

la letra griega  (sigma mayúscula), que corresponde a nuestra S, sugiere que vamos a sumar
todos los números de la forma indicada cuando el índice k recorre los enteros positivos,
empezando en el entero que aparece abajo de  y terminando con el de arriba. Así:
5

a
k 2

k

 a2  a3  a4 a5

1

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico

No importa el símbolo que se use como índice. Por lo tanto
n

n

n

k 1

j 1

i 1

 ak   a j   a i  a1  a 2  a 3  a 4  ...  a n
Por esta razón, se lo suele llamar índice mudo.
Así:


n

1
j

j 1


4

i 1

n

Si todos los c k de

c
k 1



i
i 2 1

1



1



1
2

1
12 1

1





3



2
22  1

1
4



 ... 

3
32 1

1
n

4
42  1

tienen el mismo valor, es decir k : c k  c , entonces

k

n

c
k 1

 c1  c2  c3  ...  cn  n c

k

así si c es una constante, por convención se escribe
n

c  nc
k 1

Por ejemplo
100

5

 2  5  2   10

  3  100  3  300

k 1

En particular si c  1 , la suma

i1

n

1  n
k 1

Propiedades de 



Sean a n  y

b  dos sucesiones y sea c una constante,entonces
n

1) de la constante multiplicativa
n

n

k 1

k 1

 cak  c ak
2) de la suma

a
n

k 1

2

k

 b k    ak   bk
n

n

k 1

k 1

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico

Suma de los Primeros n Números Naturales
n

 i  1  2  3  ...   n  1  n 
i 1

n  n  1
2

Demostración
Llamando S a la suma requerida, por propiedad conmutativa de la suma sabemos que da elmismo resultado sumar los valores sucesivos en orden creciente o decreciente (también en otros
ordenamientos, los que no son útiles en este caso)
S  1  2  3  ...   n  1  n
S  n   n  1  ....  3  2  1

Si sumamos miembro a miembro las dos igualdades

S 
S 

1
n




2

 n  1 

  n  1 

2


2S 

 n  1



 n  1





Concluimos que:

2S  n  n  1 Empleando la notación sigma:
n

i
i 1

S

 n  1



n
1

 n  1

n  n  1
2

n  n  1
2

Esta fórmula fue “descubierta” por Karl Gauss a los 10 años de edad (en 1787), Gauss se
convertiría en uno de los matemáticos más destacados del siglo XIX.

Un método de demostración muy empleado por los matemáticos es conocido como
Principio de Inducción Matemática
Sea Sn una proposición referida alnúmero natural n.
1) Se prueba que Sn es verdadera cuando n  1
2) Si se supone que Sn es verdadera para n  k , se deduce que Sn es verdadera cuando
n  k 1
entonces Sn es verdadera para todo n
Si:
y

Probemos la fórmula de la suma de los primeros n números naturales, empleando este principio.

3

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico

n

Sn   k 

Sea

k 1

n  n  1
2

1) S 1 es verdaderaya que
1

1 1  1

k 1

2

S1   k 

1

2) Suponiendo que

Sk  1  2  3  ...  k 

k  k  1
2

deducimos

Sk 1  1  2  3  ...  k   k  1
 1  2  3  ...  k    k  1
k  k  1
  k  1
2
k  k  1  2  k  1

2
tomando factor común  k  1


Sk 1 
Sk 1 

 k  1 k  2 
2

 k  1   k  1  1
2

Obtenemos que Sk 1 es verdadera, luego por el...