Te Rico 2b Ecuaciones De La Recta R2

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico

ECUACIONES
La expresión 3x  2  6  x puede ser verdadera o no, según sea el valor que se le asigne a
x , y se la denomina ecuación.
En cambio: 5  4  9 es verdadera y se llama igualdad.
En las expresiones precedentes están indicadas operaciones entre elementos de un cierto
conjunto. La letra x representa a un elemento de ese conjunto que, enprincipio,
desconocemos. Se dice que x es una incógnita.
Ante una ecuación, surgen los siguientes interrogantes: ¿Existen elementos que puestos en
el lugar de las incógnitas hacen de la ecuación una igualdad? y ¿Cuáles son?
En caso de una respuesta afirmativa y suponiendo que se han determinado todos los
elementos que transforman la ecuación en una igualdad, esto es que satisfacen la ecuación,
ellosintegran lo que llamaremos el conjunto solución y cualquier elemento del mismo, es
una solución de la ecuación. Si fuera el conjunto vacío, diremos que la ecuación no tiene
solución, que es incompatible o inconsistente.
Definición
Una ecuación es una expresión donde hay incógnitas a determinar.
En una ecuación podemos encontrar una o más incógnitas. Es usual emplear las últimas
letras del abecedariopara denotarlas: x , y , z .
Como frecuentemente las incógnitas son numerosas y las letras x , y y z no resultan
suficientes, es conveniente utilizar subíndices para diferenciarlas entre sí: x1 , x2 ,  ,xn (se
lee: “ x sub 1, x sub 2, x sub ene”).
Cada solución de una ecuación con n incógnitas puede expresarse con la notación
representando a una n-upla

 x , x ,,x 
1

n

2

  s1 , s2 , , sn .

Si n  2 , la n-upla es un par ordenado:

 x , x   s , s .
1

2

1

2

Si n  3 , la n-upla es una terna ordenada:

 x ,x ,x    s ,s ,s  .
1

2

3

1

2

3

Los elementos s1 , s2 ,  , sn son aquellos que puestos en lugar de x1 , x2 ,  ,xn ,
respectivamente, satisfacen la ecuación propuesta.

1

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico
ECUACIONES LINEALES
Conocemos muchos tiposde ecuaciones:

3x  27

x 2  3x - 2  0

x 2

x.y  1;

log x  10

Una ecuación lineal es una expresión de la forma:
a1x1  a2 x2   an xn  b

De los ejemplos, la primera ecuación es la única lineal.
Nos restringiremos al caso en que a1 , a2 ,  ,an y b son números reales; siendo
a1 , a2 ,  ,an no todos simultáneamente nulos.
Definición
Una ecuación lineal es aquella donde tenemos unasumatoria de términos
igualada a una constante b, llamada también término independiente. En
cada término de dicha sumatoria se tiene una constante o coeficiente:
a1 ,a2 ,...,an multiplicando a una incógnita. Las incógnitas tienen exponente
1, no están multiplicadas entre sí, ni participan como divisores.
Ecuaciones lineales describen analíticamente a formas geométricas como lo son rectas y
planos.Seguidamente desarrollaremos ecuaciones de recta y plano y a partir de ellas y sus
relaciones se estudiarán sistemas de ecuaciones lineales y su generalización a sistemas de
cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.

ECUACIONES DE LA RECTA EN

2

ECUACIONES VECTORIALES
Según la Geometría elemental, un par de puntos no coincidentes del plano o el espacio,
definen una recta a la cual pertenecen.X
Q
P

X-P

Q-P
Figura 5.1

Así pues, los puntos P y Q, definen la recta “ r ” de la Figura 5.1; pero además determinan
también un segmento orientado, representante del vector libre “ Q – P ”.

2

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico
Consideremos ahora un punto X genérico, que a su vez, determina con P, un segmento
dirigido representante del vector “ X – P ”.
Tal punto X  r, si y sólo si,verifica la ecuación: X  t  Q  P  para algún t 

.

En efecto:

X  r  PQ

y

PX son paralelos. Es decir Q  P X  P  X  P  t (Q  P) con t 

O bien:
X  P  t (Q  P)

(1)

Ecuación que debe ser satisfecha por todo punto perteneciente a la recta “ r ”.
El número real “ t ”, se denomina parámetro.
“ Q–P ” es un vector que determina la dirección de la recta, por ello suele denominarse...