Te Rico 3 Relaciones Y Funciones 2015

MATEMÁTICA I (Ciencias Biológicas)-Teórico

CONJUNTOS RELACIONES Y FUNCIONES
Las nociones de conjunto y de relación dan a la Matemática una unidad conceptual y
metodológica. Por otro lado permiten un lenguaje de comunicación con otras ciencias
facilitando las aplicaciones matemáticas en ellas y así su propio desarrollo.
Un conjunto es una colección de objetos o cosas, a los que se les da elnombre genérico de
elementos del conjunto.
Los conjuntos se designan con letras mayúsculas de Imprenta, vg: A, B,
C, D, etc. Los elementos de un conjunto se designan con letras minúsculas de imprenta, vg: a,
d, c, g, etc.
Pertenencia: Para indicar que un objeto x es elemento de un determinado conjunto K, se utiliza
el símbolo  , llamado "de pertenencia" y se escribe x  K (x pertenece a K, x tiene lapropiedad que define a K). Por el contrario, si un elemento w no tiene dicha propiedad, no
pertenece al conjunto K, lo que se denota w  K .
Par ordenado
• Dados dos conjuntos A y B, se llama par ordenado o cupla al ente  x ; y 
por un elemento x  A y un elemento y  B , en ese orden.
•

•

formado

z   x ; y  x: primera proyección o primera componente.
y: segunda componente o proyección.
Aexpensas de dos objetos x e y se obtiene un tercer objeto z conceptualmente distinto
de los elementos "x" e "y" considerados individualmente, que se toman para definirlo.

Producto cartesiano:
Dados dos conjuntos A y B en ese orden, se da el nombre de Producto cartesiano, al conjunto
de todos los pares ordenados tales que las primeras componentes pertenezcan al conjunto A y
las segundascomponentes al conjunto B.

A B 

 x ; y 



x A  y  B

El producto cartesiano no es conmutativo.
Ejemplos:
1)
Sean: A  1; 2;3

B  a; b

A  B  1; a  , 1; b  ,  2; a  ,  2; b  ,  3; a  ,  3; b 

B  A   a;1 ,  a; 2  ,  a;3 ,  b;1 ,  b; 2  ,  b;3
A B  B  A

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2) Sea S el conjunto de los grupos sanguíneos en elsistema ABO
Denotando con

a: grupo A

b: grupo B

c: grupo AB o: grupo 0

 a, b 
 b, b 
 c, b 
 o, b 

 a, o  
 b, o  
 c, o  
 o, o  

S  a, b, c, o

 a, a 

 b, a 
2
SS  S  
  c, a 
 o, a 

3) Sea

 a, c 
 b, c 
 c, c 
 o, c 

el conjunto de los números reales.





2



 x; y  x 

 y

 Se interpreta como el plano cartesiano.

4) Sean I
y J
Intervalos de números reales. El producto cartesiano I  J
representa un rectángulo del plano cartesiano.
RELACIONES
Consideremos por ejemplo las siguientes expresiones:
• ... es padre de...
• ... admira a...
• ... es del mismo color que ...
• ... puede donar sangre a…
• …es semejante a ...
• ... es congruente con ...
• ... es paralela a ...
• ... es mayor que ...
• ... es múltiplo de ...
•... es directamente proporcional a...
Dichas expresiones vinculan elementos de dos conjuntos. Expresiones de este tipo se
denominan relaciones (binarias), justamente por vincular elementos de dos conjuntos.
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Como se podrá observar los conjuntos que se vinculan pueden en esencia ser el mismo
conjunto. Por ejemplo, el conjunto del cual se toman lospadres es el conjunto de hombres, que
es el mismo conjunto que el de los hijos, ya que obviamente cada uno de los hombres es hijo
de otro hombre. En matemática esta situación en que ambos conjuntos son el mismo es muy
frecuente.
Definición
Dados dos conjuntos A y B llamaremos relación binaria R entre los elementos de A y B a
cualquier subconjunto del producto cartesiano A  B .

R  A B

a ;b  Ra Rb

lo que se debe entender "a está en relación R respecto de b".
Si el par ordenado  a ; b   R , escribimos a Rb .
Ejemplos:
1) Sean: A  B 





; R   a ; b  a  ; b   a divide a b

Esto es “ a R b ” si y sólo si a divide a b. Así: 2 R 6 ; 5R40 ; 7 R 2 .
2) Sean: A  B 

; R

 x ; y  x 



; y  x  y

A esta relación se la conoce como “diagonal”.
3) La relación “ ......