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Teórico Análisis
Definición de Sucesión;
Llamamos sucesión a una función de dominio , con . Si el recorrido es un subconjunto de decimos que es una sucesión real.

Definición de SucesiónConvergente;
Consideremos una sucesión real y . Diremos que converge a y lo anotamos , sí;


Definición de Sucesión Divergente;
Consideremos , diremos que la sucesión es divergente.

Definición de SucesiónAcotada;
Consideramos una sucesión de reales. Decimos que está acotada si y sólo si su recorrido es un conjunto acotado. Con el mismo criterio se habla de sucesiones acotadas superior y/oinferiormente.

Teorema
Toda sucesión real convergente está acotada
Sea , de la definición de límite tenemos que dado , existe tal que si entonces .
Consideremos el conjunto . Por ser finito, tiene mínimo ymáximo, sean y . Luego para por definición de máximo y mínimo. Si , entonces . En resumen, para todo , es decir, es acotada.

Definición de Sucesión Monótona;
1. Diremos que una sucesión es monótonacreciente, si
2. Diremos que una sucesión es monótona creciente en sentido estricto, si .
3. Diremos que una sucesión es monótona decreciente, si
4. Diremos que una sucesión es monótona decrecienteen sentido estricto .

Teorema
Consideremos una sucesión real , entonces;
Demostración:
1) Supongamos que es acotada.
Como , entonces . Sea , dicho supremo existe por ser acotada. Probemos que .Dado , como , no es cota superior de . Luego, existe tal que . Utilizando la monotonía de , tenemos que si entonces . Resumiendo, tenemos que dado existe tal que si entonces . Es decir
2)Supongamos que es no acotada.
Sea , entonces . Y como es no acotada, podemos decir que;
Dado , sabemos que existe tal que . Utilizando la monotonía de tenemos que sí , entonces , de aquí, tenemos quedado , existe tal que si entonces . Es decir

Definición de PSMC;
Diremos que las sucesiones y son un par de sucesiones monótonas convergentes (PSMC) si cumplen que;
1. y
2.
3.
Teorema
Si...