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Sistemas de los numeros enteros
Construcción en Z
Operaciones en Z
Estructuración en Z
Teoremas (principios de inducción matematica)
Teorema (PBO) axioma del elemento minimo
Nociones básicasen Z
Notación Z {-3,-2,-1,0,1,2,3…}
Z= N U Neg Z={0,1,2,3…} U {…-3,-2,-1,}
Z+= {, 1, 2, 3…}
Z+U{0}= {0,1,2,3…}
Z-={…-3,-2,-1,}
Z*= {-3,-2,-1,1,2,3…}
Operaciones
1) ADICION EN Z
Sea m,nnúmeros enteros entonces se define la adicion mediante
1 (Am)(An)(m,n E Z)(m+n= p E Z)
2) (Am)(An)(m,nEZ) entonces
2.1 m E Z+ ^ n E Z*=> m+n= p E Z+
2.2 mEZ+ ^ nEZ- => m+n (m>n= pEZ+ n>m= pEZ-)
2.3mEZ- ^ nEZ+ => m+n (m>n= pEZ- n>m= pEZ+)
2.4 mEZ- ^ nEZ- => m+n= pEZ-
2.5 mEZ+ ^ n=0 => m+o =pEZ+
mEZ- ^ n=0 => m+0=pEZ-
PROPIEDADES DE (Z,+)
Axiomas
I) asociatividad (Aa)(Ab)(Ac)(a,b,cEZ)(a+(b+c)=(a+b)+c)
II) conmutatividad (Aa)(Ab)(a,b EZ)(a+b=b+a)
III) existencia del elemento neutro (3e)(eEZ)(Aa)(aEZ)(A+e=e+a=a)
a+e=a ^ e+a=a
(-a)+(a+e)=-a+a ^ (e+a)+(-a)=a+(-a)
Asociativa(-a+a)+e=-a+a ^ e+(a-a)= a-a
0+e=0 ^ e+0=0 DEf2.5(e=0) por lo tanto (3e)(e=0 EZ)(Aa)(aEZ)
IV) existencia del elemento simetrico
(Aa)(aEZ)(3a`)(a`EZ)(a+a`=a`+a=e)(A2)(2EZ)(3a`)(a`EZ)(2+2`=e ^ 2`+2=e)
(2`+2) (2+(-2)=0 ^ (-2)+2=0) por lo tanto (Aa)(aEZ)(3a`=-a)(a+(-a)=(-a)+a=e)
Resume:
Ley cerrado
Ley asociativa
(Z,+) ley existencia del neutro
Ley existencia de simetricoLey conmutativa
3) MULTIPLICACION EN Z (Z,•) SEA M,N ENTEROS SE DEFINE LA MULTIPLICACIÓN DE LA SIGUIENTE FORMA
3.1) (Am)(An)(m,n EZ)(m*n=pEZ) ley cerrada
3.2) (Am)(An)(mEZ ^ nEZ- => m*n=pEZ+)3.3) (Am)(An)(mEZ+ ^ nEZ- => m*n=pEZ+)
3.4) (Am)(An)(mEZ- ^ nEZ+ => m*n=pEZ-)
3.5) (Am)(An)(mEZ- ^ nEZ- => m*n=pEZ-)
3.6) (Am)(mEZ=> m*0=0)
PROPIEDADES DE (Z,*)
1) ASOCIATIVIDAD(Aa)(Ab)(Ac)(a,b,c EZ)(a*(b*c)=(a*b)*c)
2) Conmutatividad (Aa)(Ab)(a,b EZ)(a*b=b*a)
3) existencia del elemento neutro (3e)(eEZ)(Aa)(aEZ)(A*e=e*a=a)
Neutro para la mutiplicacion e=1
Ae=a*1=a; e=1
Nose...