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La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial esun conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:
* suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w
*producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por unescalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av.
que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas(u, v, w son vectores arbitrarios de V, y a, b son escalares, respectivamente):
Propiedad | Significado |
Propiedad asociativa de la suma | u + (v + w) = (u + v) + w |
Propiedadconmutativa de la suma | v + w = w + v |
Existencia de elemento neutro o nulo de la suma | Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todov ∈ V. |Existencia de elemento opuesto o simétrico de la suma | Para todo v ∈ V, existe un elemento -v ∈ V, llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) =0. |
Propiedad distributiva del producto por unescalar respecto a la suma de vectores | a (v + w) = a v + a w |
Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la suma de escalares | (a + b) v = a v + b v |
Propiedadasociativa mixta del producto por un escalar | a (b v) = (ab) v[nb 1] |
Existencia de elemento unidad del producto por un escalar | 1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativaen K |Con esta definición puede comprobarse que R2, con la suma y producto vistos arriba, es por tanto un espacio vectorial. Comprobar los axiomas se reduce a verificar identidades sencillas como(x, y) + (0, 0) = (x, y),
i.e. la suma de un vector nulo (0, 0) con otro vector produce el mismo vector. La propiedad distributiva lleva a
(a + b) · (x, y) = a · (x, y) + b ·...