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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
TAV 2011
MAT 1630 ∗ C´lculo III
a
Pauta Interrogaci´n 4
o

1. Calcular

Γ

−8xdx + y 2 dy − (y+ z )dz , donde
Γ = {(x, y, z )| y 2 + z 2 = 2z, y 2 + 4x = 0}

Soluci´n: Tenemos dos parametrizaciones posibles, dependiendo la orientaci´n
o
o
elegida:
1
x = − sin2 θ, y = sin θ, z = 1 +cos θ
4
con θ ∈ [0, 2π ] o tambi´n
e
1
x = − cos2 θ,
4

y = cos θ,

z = 1 + sen θ

con θ ∈ [0, 2π ].
Resolvamos con la parametrizaci´n
o
1
σ (θ) = (− sin2 θ, sin θ, 1 + cos θ).
4Tendremos el vector tangente
1
σ (θ) = (− sin θ cos θ, cos θ, − sin θ).
2
Calculamos entonces

Γ

Γ

−8xdx + y 2 dy − (y + z )dz =

1
− 8(− sin2 θ), (sin θ)2 , −((sin θ) + (1 + cos θ))
4

·σ (θ)dθ

Al hacer el producto punto tendremos
2π

2π

sin3 θ cos θ +sin2 θ cos θ +sin2 θ +sin θ +cos θ sin θ dθ =
0

Nota: Con la otra parametrizaci´n obtenemos
o
que tambi´n es unresultado correcto.
e

sin2 θdθ = π
0

Γ

−8xdx+y 2 dy −(y +z )dz = −π

2. Calcular

Γ

→
−
F (x, y ) =

→→
−−
F · d r si
−y
x+1
y
x−1
ˆ
ı+
ˆ

+
−
2 + y2
2 + y2
2 + y2
(x+ 1)
(x − 1)
(x + 1)
(x − 1)2 + y 2

−
y Γ : →(t) = (100 cos t + sin 100t)ˆ + (100 sin t + cos 100t)ˆ
r
ı

Soluci´n:
o
Denotemos
P=

−y
y
+
2 + y2
(x + 1)
(x − 1)2 + y 2

y Q=x+1
x−1
−
.
2 + y2
(x + 1)
(x − 1)2 + y 2

Calculemos el rotor:
1
2(x + 1)2
1
2(x − 1)2
∂Q
=
−
−
+
∂x
(x + 1)2 + y 2 ((x + 1)2 + y 2 )2 (x − 1)2 + y 2 ((x − 1)2 + y 2 )2
1
2y 21
2y 2
∂P
=−
+
+
−
∂y
(x + 1)2 + y 2 ((x + 1)2 + y 2 )2 (x − 1)2 + y 2 ((x − 1)2 + y 2 )2
De donde
2
2
2
2
∂Q ∂P
−
=
−
−
+
=0
∂x ∂y
(x + 1)2 + y 2 (x + 1)2 + y 2 (x − 1)2 + y 2(x − 1)2 + y 2
Considerando que no podemos usar el Teorema de Green donde hayan discontinuidades, sin embargo podemos elegir una bola alrededor de cada discontinuidad, estas son: cuando (x + 1)2 +...