tecnicas conteo

ANALISIS COMBINATORIO
En muchos problemas de probabilidad se deben contar los puntos de un espacio Muestral; para esto es necesario conocer algunos métodos de conteo.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO o REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Si un suceso puede realizarse de x1 maneras diferentes, y si un segundo suceso puede realizarse de x2 maneras diferentes, y si después un tercer suceso puederealizarse de x3 maneras , y así sucesivamente, entonces el número de maneras en los que los eventos pueden realizarse es el producto: x1 . x2 . x3 . ...
EJEMPLO
Supóngase que de una ciudad X a una ciudad Y se puede viajar en: avión, automóvil, o motocicleta, y de la ciudad Y a una ciudad Z se puede ir: caminando o a caballo. De cuántas maneras se puede viajar de la ciudad X a laciudad Z?.
A v i ó n Caminando

X Automóvil Y Z

Motocicleta Caballo(tres maneras) (dos maneras)
De X a Z se puede ir de 3 x 2 = 6 maneras distintas

Símbolo Factorial: el símbolo es muy utilizado en el análisis combinatorio:

Nota: El factorial solamente se calcula para elementos del conjunto de los Números enteros positivos.
Permutaciones
Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dadose llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez).
1. El número de permutaciones de n objetos diferentes, tomados todos a la vez, viene dado por la expresión:


2. El número de permutaciones DIFERENTES que pueden hacerse con n objetos cuando no se toman todos a la vez (también reciben el nombre de variaciones), suponiendo que de los n objetos se toman r a la vez, con
r n, es:


3. Permutaciones con repetición: En muchos problemas se desea saber el número de permutaciones de objetos, de los cuales algunos son iguales. El número de permutaciones de n objetos de los cuales r1 son iguales, r2 son iguales, r3 son iguales, etc; ES::



Donde n = r1 + r2 + r3.+ r4-+ …
NOTA: “Las permutaciones con repetición r, son un caso particular de las variaciones y noexiste una ley sencilla para su formación. Por lo tanto se presentan algunas otras fórmulas que logran el número de esta clase de permutaciones según el caso”.

1.

2.



EJERCICIOS
Con base en la respuesta, esquematice el ejercicio (si es posible) y resuélvalo, ubicándolos en los casos anteriores, utilice las definiciones.

1. Supóngase que debemos sentar a Paula, Andrés yRocío en tres sillas. De cuántas maneras podemos efectuar este proceso?. Rta. 6 maneras.
2. Cuántas permutaciones de cuatro letras cada una se pueden formar con las letras de la palabra MESA?. Rta. 24 permutaciones.
3. De cuántas maneras se pueden disponer en un estante 3 libros tomados de un conjunto de 10?. Rta. 720 maneras.
4. Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2,3, 4, 5, 6, si: a) No se repite ninguna cifra. Rta. 360 números Y b) Si se permite la repetición de cifras. Rta. 1.296 números.
5. Cuántas palabras de 12 letras pueden formarse con las letras de la palabra ESTADISTICAS?. Rta. 9’.979.200.
6. Cuántas señales diferentes, cada una de 6 banderas colocadas en línea vertical, pueden formarse con 3 rojas, 2 blancas y una azul?. Rta. 60 señalesdiferentes.

Combinaciones
Con frecuencia el orden de una disposición no es importante, si no nos interesa el orden de los elementos, en este caso se trata entonces de combinaciones.
El número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez ,


EJEMPLO
Existen 6 permutaciones de las letras A, B, C, a saber: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, sin embargo, todas estas permutaciones...