Tecnicas De Conteo

TÉCNICAS DE CONTEO

* COMBINACIONES

Una combinación es un subconjunto o una disposición de todos los elementos de un
Conjunto, sin tener en cuenta el orden de ellos.
El número de combinaciones o subconjuntos no ordenados, cada uno formado por r elementos, que pueden obtenerse de un conjunto de n elemento es:

nCr=n!n-r!r!o nr=n!n-r!r!

Si de un estante tomamos 2 de 3 libros,¿Cuántas combinaciones pueden realizarse?

3C2=3!3-2!2!=3!1!2!=62=3

Por lo tanto, el resultado se reduce a 3 posibles formas ya que en una combinación el orden de los elementos no es importante.

Se tienen cinco obreros para un trabajo especial que requiere de tres de ellos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un equipo de tres?

5C3=5!5-3!3!=5!2!3!=12012=10

De unclub de 20 socios, se van a seleccionar 3 para formar la mesa directiva. ¿De cuántas formas puede constituirse?

20C3=20!20-3!3!=20!17!3!=68406=1140

Es conveniente observar que:
0nCr =n Cn-r

Así:
0100C98 =100 C100-98=100 C2

Formula del Binomio

(a+b)n= r=0nnran-rbr

* PERMUTACIONES

Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunoselementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos del conjunto.

Nota: En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante.

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS
Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de n objetos distintos tomados de n en n, es:

0nPn=n!Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en hilera para tomar una fotografía.

03P3=3!=6

Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras han de constituir el comité?
05P5=5!=120

Hay seis banderas de distintos colores. ¿Cuántasseñales diferentes se pueden enviar usando las seis banderas al mismo tiempo?

06P6=6!=720
PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS.
Podemos calcular el número de permutacionesnnpr, de n elementos, tomados en grupos o subconjuntos de r elementos.
nnPr=n!n-r!

Si de un estante tomamos 2 de 3 libros ¿Cuántas permutaciones pueden realizarse?

n3P2=3!3-2!=3!=6

¿Cuántasternas pueden formarse con las 26 letras del alfabeto, si cada letra sólo puede utilizarse una sola vez?
n26P3=26!26-3!=2623=15600

Cinco personas entran a una sala en la que hay 8 sillas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar las sillas?
n8P5=8!8-5!=8!3!=6720

PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES.
Si los elementos de un conjunto no son todos diferentes entre sí,es decir, algunos de los elementos son idénticos, la fórmula de las permutaciones presenta un nuevo aspecto.

El número de permutaciones que se pueden formar en el caso de n elementos, cuando hay n1 elementos idénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etcétera, es:

0nPn1,n2, …,nk=n!n1!n2!…nk!
¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letras pueden formarse con las letras LULU?04P2,2=4!2!2!=244=6

S = {LLUU, LULU, UULL, ULUL, LUUL, ULLU}

¿Cuántas palabras de once letras pueden formarse con la palabra Mississippi?

011P4,4,2,1=11!4!4!2!1!=34650

¿Cuántos mensajes pueden enviarse con diez banderas utilizándolas todas, si son cuatro negras, tres verdes y tres rojas?

010P4,3,3=10!4!3!3!=4200

PERMUTACIONES CIRCULARES
Cuando los elementos se encuentran dispuestos enforma circular tenemos:

naPc=n-1!

¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves en un llavero?

5aPc=5-1!=4!=24

* DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetiva de los...