Tecnicas De Conteo

Cestec
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA |
Unidad I Técnicas de conteo |
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Ing. Javier Fernández Maldonado |
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Álvaro Suárez Castillo |
Jalpan de Serra Qro., A 4 de septiembre del 2012 |
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Jalpan

Índice
Unidad III técnicas de conteo 3
Notación sumatoria 3
Notación factorial 3
Permutaciones 4
Permutaciones sin repetición 5
Combinaciones 7
Teorema del binomio9
Principiode la multiplicación9
Ejercicios 12

UNIDAD I TECNICAS DE CONTEO
Notación sumatoria:
n

i=1
∑xi=x1+x2+x3+…+xn donde ∑: sumatoria, i=1: límite inferior, n: límite superior

i=15Xi2=X12+X22+X32+X42+X52
Ejemplos y ejercicios:
i=15X=1+2+3+4+5=15
1.- X=2, 3, 4, 6, 10 X=5
(X-X)2=(2-5)2+(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(10-5)2=40
i=14(Yi-3)2=(Y1-3)2+(Y2-3)2+(Y3-3)2+(Y4-3)2=6j=1nai=a1+a2+…+an
k=15FkXk=F1X1+(F2X2)+F3X3+F4X4+(F5X5)
i=13(Xi-a)=X1-a+X2-a+X3-a=X1+X2+X3-3a
X1+Y1+X2+Y2+…+X8+Y8=i=18(Xi+Yi)
f1X13+f2X23+…+f20X203=i=120(fiXi3)
a161+a262+…+an6n=i=1n(a161)
f1X1Y1+f2X2Y2+…+f4X4Y4=i=14(fiXiYi)

Notación factorial:
Nos representa el símbolo !
Ejemplo: 3!=3x2x1=6
En general n objetos distintos se pueden arreglar n⟶(n(n-1)(n-2)…(2)(1)= formasdistintas
Teniendo a, b, c, d : 4!=24
a

c - d
d- c

b- d
d- b
b - c
c - b
b
c
d

(a,b,c,d)
(a,b,d,c)
(a,c,b,d)
(a,c,d,b)
(a,d,b,c)
(a,d,c,b)
b

c - d
d- c

a- d
d- a
a - c
c - a
a
c
d

(b,a,c,d)
(b,a,d,c)
(b,c,a,d)
(b,c,d,a)
(b,d,a,c)
(b,d,c,a)
c

b - d
d- b

a- d
d- a
a - b
b - a
a
b
d

(c,a,b,d)
(c,a,d,b)
(c,b,a,d)
(c,b,d,a)
(c,d,a,b)(c,d,b,a)
d

b - c
c- b

d- a
d- a
a - b
b - a
a
b
c

(d,a,b,c)
(d,a,c,b)
(d,b,d,a)
(d,b,d,a)
(d,c,a,b)
(d,c,b,a)

Permutaciones:
Una permutación es un arreglo de objetos distintos. Una permutación difiere de otra si el orden del arreglo o el contenido difiere, por ejemplo:
Consideremos 4 chips distintos denominados a, b, c, d
a) Considerar todas las combinaciones de estoschips tomados uno a la vez
a
c
d

a

b

c

d

b
c
d

a
b
d

a
b
c
(a,b)
(a,c)
(a,d)

(b,a)
(b,c)
(b,d)

(c,a)
(c,b)
(c,d)

(d,a)
(d,b)
(d,c)

12 permutaciones posibles
a, b, c, d
b) Considere todas las permutaciones tomados dos a la vez

nPr=n!/(n-r)!
Ejemplos y ejercicios:
4P2=4!/(4-2)!=12
4P3=4!/(4-3)!=24
4P4=4!/(4-4)!=24
Tengo 43 cillas y 27alumnos de cuantas formas se pueden sentar.
27P43=43!43-27!=2.88X1039
Cuantas parejas distintas e pueden formar con 15 mujeres y 11 hombres.
15P11=15!15-11!=5.44X1010
Cuantas placas de automóvil puedo hacer que contén de 3 letras y 4 dígitos.
* 3 letras de 27 posibles= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
* 4 dígitos de 10 posibles= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
27P3=27!27-3!=17,550
10P4=10!10-4!=5,040
(17550)(5040)=88,452,000

Permutaciones sin repetición
Con frecuencia se desea saber el número de permutaciones de objetos de las cuales algunos para ello se usa la siguiente formula.
n!n1!n2!…nn!
Ejemplos y ejercicios:
Cuantos nombre diferentes puedo formar con ALVARO
6!2!=360 A=2

POPOCATEPLET
P=3; O=2;T=2; E=2
13!2!2!3!2!=9,979,200
ALONDRA
A=2
7!2!=2,250
¿Cuántas señales diferentes cada una de 8 banderas, colocadas en una línea vertical pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas, 3 blancas y una azul?
8!4!3!=40320244=280
4 Roja
3 Blanca
1 Azul

De cuantas maneras pueden sentarse 5 personas en un sofá de 3 plazas.
5P3=5!5-3!=60
De cuantas maneras pueden colocarse 7 librosen una estantería si:
a) Cualquier colocación es admitida.

7!= 5,040

a) 3 libros particulares han de estar juntos.
(3P3)(4P4)=144
5(3P3)(4P4)=720
3P3= 6
4P4=24

b) 2 libros particulares deben de ocupar los extremos.
(2P2)(5P5)= 240

Cuantos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si:
a) (5P1) (9P4)= (5) (3040)=15,120
b)...