TECNICAS DE CONTEO

3. Teoría de la Probabilidad

3.2 Técnicas de conteo
3.2.1. Introducción
3.2.2. Regla multiplicativa
3.2.3. Permutaciones
3.2.4. Combinaciones
3.2.5. Ejercicios
3.2.5.1. Ejercicios Resueltos
3.2.5.2. Ejercicios Propuestos

Vázquez, H. 2009

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3.2.1 Introducción:
Suponga que usted es el Jefe de Personal de una Compañía, y que el principal
accionista está otorgando 3 becas para estudiar unpostgrado en el extranjero, para
los ingenieros del área de producción de la empresa, ¿Cómo seleccionaría usted a
los 3 futuros becados, si en el área de producción existen 5 ingenieros? Pues bien,
no se preocupe, en esta sección se tratan algunas técnicas para solucionar este tipo
de problemas.
Se ha visto que un paso muy importante de los problemas probabilísticos es la
enumeración de todos losposibles eventos dentro de un espacio muestral. Cuando
estos eventos no son muchos su enumeración resulta fácil, pero cuando el espacio
muestral consta de un número grande de elementos, su enumeración resulta
complicada. Las técnicas de conteo resuelven éste problema. Para poder responder
las preguntas de cuántos o cuáles se puede proceder de dos formas:



Enlistar todas las posibilidades.
Determinarel número sin tener que listarlas.

Vázquez, H. 2009

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Para listar las posibilidades, los diagramas de árbol (tratados en el subtema 4.3.1)
son los más útiles, y para determinar el número existen diferentes procesos de
multiplicación dentro de la teoría probabilística que brindan una buena herramienta.
A continuación se ejemplifica el método del diagrama de árbol y posteriormente, un
métodomatemático denominado “Regla de la multiplicación”, para determinar el
número de opciones posibles de un espacio muestral, sin necesidad de tener que
enlistar todas las posibles opciones.
⇒ Diagrama de Árbol:
Usted ya sabe que el diagrama de árbol consiste en enlistar todas las opciones
posibles para un espacio muestral. Analice el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Una persona tiene tres pantalonesdiferentes y 4 camisas diferentes. ¿ De cuántas
maneras puede vestirse en forma diferente
Con el diagrama de árbol se pueden enlistar las opciones:

Observe y Analice:
El diagrama de árbol inicia con opciones de la primera selección “pantalón” y cada
una de ellas se relaciona con las opciones de la segunda selección “camisa”, de aquí
que, cada tipo de pantalón se puede relacionar con los 4 tipos decamisa, por lo
tanto se tiene un total de (3) (4) = 12 opciones o formas.
Si se analizan los dos ejemplos pasados, se puede deducir que, para calcular el
total de opciones o posibilidades bastará con multiplicar las opciones de la primera
selección con las de la segunda selección, éste concepto se encuentra establecido
en la teoría probabilística como “regla de la multiplicación” o “principiomultiplicativo”, el cual se enuncia a continuación.

Vázquez, H. 2009

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3.2.2 Regla multiplicativa.
Principio de la Multiplicación:
El procedimiento siguiente constituye una estrategia básica para el conteo. Divide
un proceso de selección entero S en una secuencia finita de subselecciones s1, s2,…
sk de tal manera que la selección de S se obtiene multiplicando las opciones de cada
subselección. Esteprincipio multiplicativo se define de la siguiente forma: Si una
operación de selección puede ser realizada en n1 formas, una segunda selección en
n2, y una tercera selección en n3, y así sucesivamente, el número de todas las
selecciones posibles es:

n ( s ) n1n2 ....nn
Ejemplo:
Una cafetería ofrece un menú de 2 sopas, 5 sandwiches, 3 postres, y 3 bebidas.
¿Cuántas posibles selecciones paracomer hay, si cada comida consiste en una
sopa, un sandwich, un postre, y una bebida?
Solución:
Se puede elegir 2 sopas diferentes, una vez elegida la sopa se puede elegir uno de
5 sandwiches , una vez elegido el sandwich y la sopa se tiene 3 postres diferentes,
hasta este momento se ha elegido sopa sandwich y postre, por último se tendrá
que seleccionar una bebida de las 3 que existen, de tal...