Tecnicas de conteo

TECNICAS DE CONTEO

LUIS ALFONSO VELEZ SANTOS

IRVING ZETHIEN

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS
VI SEMESTRE
CARTAGENA D.T Y C.
2010-09-23

INTRODUCCIÓN
Por medio de este trabajo vamos a conocer las diferentes técnicas de conteo, como lo son las permutaciones, combinaciones, diagramas de árbol, variaciones. Y además vamos a conocer el teorema de bayes. Yde cada uno de estos temas vamos a realizar unos ejemplos, para comprender mejor en qué consisten.

TECNICAS DE CONTEO
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Ejemplo: ¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si se encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelosdiferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?
Se les denomina técnicas de conteo a las:
* Combinaciones
* Permutaciones
* Diagrama de árbol
* Variaciones
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo.

Principio Multiplicativo
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primerpaso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras, el segundo paso de N2 maneras y el r-ésimo paso de Nr maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:
N1 x N2 x ..........x Nr maneras
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras otro.
Principio Aditivo
Si se desea llevar a efecto unaactividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de :
M + N + .........+ W maneras
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso delprincipio multiplicativo y cuando del aditivo?
Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

Variaciones

Las variaciones son técnicas de conteo que respetan elorden, es decir AB, BA.
En realidad cuando hemos resuelto el problema de ¿Cuántas palabras de 3 letras se puede escribir con las letras A, B, C, D, hemos resuelto un problema de variaciones, porque respetamos el orden: ABC, CAB, CBA, etc.
Además, las variaciones pueden ser con repetición o sin repetición.
Comencemos con las variaciones sin repetición.
Variaciones sin repetición
Con lasletrar A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras de 3 letras diferentes.
Esto mismo, matemáticamente se dice:
Hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3.
y se escribe:
4V3 = 24
Y se calcula asi:
4V3 = 4 x 3 x 2 = 24.
Ejemplos:
1. ¿Cuántas palabras de 3 letras diferentes se puede escribir con las letras A, B, C, D, E, F?

6V3 = 6 x 5 x 4 = 120

2. ¿Cuántas palabras de 3letras diferentes se puede escribir con las letras A, B, C, D, E?

5V3 = 5 x 4 x 3= 60

3. ¿Cuántas palabras de 2 letras diferentes se puede escribir con las letras A, B, C, D, E, F, G?

7V2 = 7 x 6 = 42

En general, si tenemos n letras diferentes, ¿Cuántas palabras de r letras diferentes se podrá escribir?
Es lo mismo que: nVr =?.
Siguiendo los modelos anteriores, podríamos decir.nVr = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x __________
r factores.
Para 6V3 se tenía: 7V3 = 7 x 6 x 5
Podríamos entonces pensar así:
7V3= 7x6x5x4x3x2x14x3x2x1=7x6x5=210
Al número: 7x6x5x4x3x2x1 lo llamamos factorial de 7 y escribimos 7!
Y al número: 4x3x2x1 lo llamamos factorial de 4 y escribimos 4!
Entonces:
7V3= 7!4!
Pero si pensamos que 4 = 7 – 3, entonces tenemos:
7V3= 7!(7-3)!
De donde...