Tecnicas De Integracion

Técnicas de integración

Temas:
1. Integración por sustitución
2. Integración por partes
3. Integración por fracciones
4. Integración por sustitución trigonométrica
5. Integrales especiales (sennθ, cosmθ, senn, cosm)

Técnicas de Integración

Como resultado del Teorema fundamental del cálculo, se puede integrar una función si se conoce una anti-derivada, es decir, unaintegral indefinida. 
Se resumen aquí las integrales más importantes que se saben hasta el momento:

xndx=xn+1n+1+c 1xdx=lnx+c

exdx=ex+c axdx=axlna +c

senx dx=-cosx+c cosx dx=senx+c

sec2x dx=tanx+c csc2x dx=-cotx+c

secx tanx x dx=secx+c cscx cotx dx=-cscx+csenh x dx=coshx+c coshx dx=senh x+c

tanx dx=lnsecx+c cotx dx=lnsenx+c

1x2+a2dx=12tan-1xa+c 1a2-x2dx=sen-1xa+c
Integración por Sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral oantiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ejemplo #1
Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral se reemplaza  con ():
(1)
Ahora se necesita sustituir también  para que la integral quede sólo enfunción de:
Se tiene que  por tanto derivando se obtiene 
Se despeja  y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado quela primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo.
En este caso, como se hizo  :
(Límite inferior)
(Límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

Regla de Barrow

Es unapropiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a, b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x).
Entonces

Integración por Partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:Eligiendo adecuadamente los valores de  y, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.
.
Un buen orden para escoger la u según la función es este:
1. Trigonométrica Inversa 2. Logarítmica 3. Algebraica o polinómica 4. Trigonométrica 5. Exponencial.
Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".

Este método consiste en identificar ucon una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que
Al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnicanecesaria. No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m es positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx. También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x y con dv, exdx, sen x dx, cos x dx, etc. Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de dv, ésta debe contener siempre...