Tecnicas Integracion

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE GUSTAVO A. MADERO

CÁLCULO II – INTEGRACIÓN

1

Definición
Función primitiva o antiderivada
Función primitiva de una función dada f(x), es otra
función F(x) cuya derivada es la solución dada.
F'(x) = f(x)
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas
primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

IntegralIndefinida
 Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas
que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que
se integra.
 C es la constante de integración y puede tomar cualquier valornumérico real.






 Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
 ∫ f(x) dx = F(x) + C

Línealidad de la integral indefinida
 La integral de una suma de funciones es igual a la suma
de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
 La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la
función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x)dx

Ejercicios
1.

2.

2 x3  x 2  x
 x 2 dx
3
2
2x  x  x
1

2
dx

2
x

1

dx

x
 x  ln x  C

 x2

x
G

g

Integrales definidas

Integrales definidas
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo
[a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área
limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas
verticales x = a y x = b. a
Serepresenta por
f ( x)dx






b

∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función
que se integra.

Propiedades de las integrales definidas
• El valor de la integral definida cambia de signo si se
permutan los límites deintegración.

• Si los límites que integración coinciden, la integral
definida vale cero.

Propiedades de las integrales definidas(2)
• Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral
definida se descompone como una suma de dos
integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

• La integral definida de una suma de funciones es igual a
la suma de integrales·

Teorema Fundamental delCálculo
La derivada de la función integral de la función continua
f(x) es la propia f(x).
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la
derivación y la integración son operaciones inversas: si una
función continua primero se integra y luego se deriva, se
recupera la función original.

Regla de Barrow
La regla de Barrow dice que la integral definida de una
función continua f(x) en unintervalo cerrado [a, b] es
igual a la diferencia entre los valores que toma una
función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho
intervalo.
b

f ( x)dx  G ( x)
a

b
a

G (b)  G (a )

Regla de Barrow (ejercicio)
1

3x

1. j

3

2



 x  x  1 dx

1
1

4

3

2

1

 3x

x
x
(3 x  x  x  1)dx 

  x

3 2
 4
1
1
3 1 1  3 1 1  8
    1      1 
4 3 2 4 3 2  3
3

2

Integración por partes
El método de integración por partes se basa en la derivada
de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales
de productos.

Integración por partes (2)

Se debe considerar :
Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será
conveniente que la integral de v' sea inmediata.
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se
eligen comou.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo
seno y coseno, se eligen como v'.

Integración por partes (3)
1. h

Integración por partes (4)
2.h

Integración por Sustitución
 El método de integración por sustitución o cambio de
variable se basa en la regla de la cadena.

f ' (u ) u ' dx F (u )  C

 El método se basa en identificar una parte de lo que se
va a integrar con...