Tecnico Superior Universitario

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION-CABIMAS










Elipse e hiperbola
Geometria Analitica



Elaborado por:
Ernel Franco C.I. 16.631.009Hecnimar Urdaneta C.I. 23.762.236
Genesis Sanchez C.I. 23.553.271
Prof: Ing. Yasmin Barreto

Cabimas, Abril 2013
ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de eseplano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición de una elipse excluye el caso en que el punto móvil este sobre el segmento que une los focos. Designemos por F y Fr (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es convenienteintroducir el término de eje focal para designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, V y V‘, llamados vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento VV’, se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l’ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres;encontraremos conveniente introducir el termino eje normal para designarla. El eje normal l’ corta a la elipse en dos puntos, A y A’, y el segmento AA’ se llama eje menor. Un segmento tal como BB', que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como EE', se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL’,perpendicular al eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD’, se llama un diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F’P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de P.










Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejesde coordenadas.
Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (Fig 2). Los focos F y F’ están sobre el eje X. Como el centro 0 es el punto medio del segmento FF’, las coordenadas de F y F’ serán, por ejemplo, (c , 0) y (- c , 0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva,el punto P debe satisfacer la condición geométrica.





Figura 2.
La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es:



Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, c)y (0, - c) , la ecuación de la elipse es



Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, y a , b y c están ligados por la relación



También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es y la excentricidad e está dada por la formula





NOTA. Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica,podemos determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los términos en y . El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.

Ejercicios:

1.- Determinar los componentes en:



Entonces,...