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UNIDAD 2: TERORIA DE CONJUNTOS

2.1 Definición de Conjunto
Un conjunto es un grupo de objetos con una o más características comunes. También se puede decir que es una colección desordenada de objetos. Un conjunto esta bien definido si es posible conocer todos sus elementos.
Ejemplo:
Las Vocales del Alfabeto V = {a, e, i, o, u}
V = Nombre del conjunto en mayúscula
a, e, i,o, u = Nombre de los elementos en minúscula.
Ejemplo:
Los enteros positivos impares menores a 10 I = {1, 3, 5, 7, 9}
Los elementos pueden ser también números.
Ejemplo:
B = {a, 2, Roberto, Francia}
Los elementos de un conjunto pueden también no estar relacionados.

2.2 Elementos de un Conjunto
Son los objetos que componen un conjunto, también se les conoce como miembros.Se dice que el conjunto contiene a sus elementos y los elementos pertenecen al conjunto.
Si un elemento “a” pertenece a un conjunto “V”, se denota por: a  V
Si un elemento “d” no pertenece a un conjunto “V”, se denota por: d V

2.3 Modos de Representación de un Conjunto
a. Extensión
Se detallan todos los elementos del conjunto. Ejemplo: V = {a, e, i, o, u}
b. Comprensión
Se da unaidea que representa los elementos. Ejemplo: Las vocales del alfabeto.
c. Descripción por construcción
Se caracterizan todos los elementos del conjunto declarando la propiedad o propiedades que deben tener sus miembros.
Ejemplo:
Conjunto I de todos los enteros impares menores que 10.
I = {x I x es un entero positivo menor que 10}
I = {x I x Z, x10}
R = {x I x R}
d. Diagrama de Venn
Es una forma grafica de representar un conjunto. Parte del concepto de conjunto Universal.
Se define el Conjunto Universal “U” como aquel que contiene todos los elementos que están siendo objeto de estudio. Se representa por un rectángulo y la letra U.
El diagrama se construye con el conjunto universal y luego utilizando círculosdentro del rectángulo, se representan los conjuntos, identificados con letras mayúsculas. Los elementos se representan dentro de los conjuntos, utilizando letras minúsculas.
Ejemplo:




2.4 Tipos de Conjuntos
a. Conjunto Vacio
Es aquel que no tiene elementos. Se representa por Φ , también puede ser denotado por { }
b. Conjunto Unitario
Es aquel que tiene un solo elemento. Ejemplo: {a},{Φ}, {5}
c. Conjunto Finito
Es aquel que tiene un número n de elementos definidos, n > 0, ejemplo las vocales.
d. Conjunto Infinito
Es aquel que no es finito, es decir tiene elementos no definidos, ejemplo el conjunto de los enteros positivos.
e. Subconjunto
Se dice que el conjunto A es subconjunto de B, si y solo si todo elemento de A es también un elemento de B.
AB x (xA  xB)

Teoremas de Subconjuntos:
a) Φ S y S S (Todo conjunto no vacio S, tiene 2 subconjuntos, el vacio y el propio conjunto)
b) A B y B A entonces se concluye que A = B
c) Para enfatizar que A es subconjunto de B pero que A y B son diferentes, se denota A B
d) En un diagrama de Venn, A B se representa por:

2.5 Características deConjuntos
a. Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si y solo si, tienen los mismos elementos.
Ejemplo:
{1, 2, 4} = {2, 4, 1} = {1, 2, 2, 2, 4}
No importa el orden, no importa que se repitan, los tres conjuntos tienen los mismos elementos.
b. Tamaño de un conjunto
Sea S un conjunto, si hay exactamente n elementos “distintos” en S, donde n es un entero nonegativo, se dice que S es un conjunto finito y n es el cardinal de S, el cual define su tamaño. El cardinal del conjunto S se denota por ISI.
Ejemplo:
A Conjunto de los enteros positivos impares menores a 10. IAI = 5
S Conjunto de las letras del alfabeto. ISI = 28
V Conjunto de las vocales. IVI = 5
Φ Conjunto vacio. IΦI = 0 (ya que no tiene elementos)

2.6 Conjuntos Numéricos Fundamentales...