tecnico

TECSUP - PFR

Matemática I

UNIDAD V

LA PARÁBOLA

1.

INTRODUCCIÓN
Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija
y un punto fijo que no está en ella. La recta fija se llama directriz de la parábola
y el punto fijo se llama foco.

2.

PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN EL ORIGEN
Veamos ahora algunos otros elementos de la parábola. Pensemos en la parábolaque tiene su foco en el eje X, digamos en el punto F ( p ;0) y su directriz es la
recta  cuya ecuación es x   p , ver la Figura 1. Para que un punto P (x ; y )
pertenezca a la parábola, debe satisfacer.

d (P ; F )  d (P ; )



(*)

Sustituyendo las coordenadas de P y F, así como la ecuación de  en las
fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos y la distancia entre unpunto
y una recta, obtenemos:
( x  p )2  (y  0)2 

x p
12

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación y simplificando obtenemos

y 2  4 px

Y

P (x ; y)

F (p ; 0)

 : x = -p

Figura 1

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X

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Observa en la Figura 1 que la parábola pasa por el punto medio entre el foco y la
directriz, dicho punto es la cúspide de laparábola se llama vértice de la parábola.
La recta que une al vértice y al foco, que es perpendicular a la directriz es el eje
de simetría de la parábola.
Veamos ahora el caso cuando el vértice de la parábola está en el origen pero
ahora el foco se encuentra en la parte negativa del eje X y la directriz es
paralela al eje Y pero corta al eje X en la parte positiva de él. Ver la Figura 2
Y

P ( x ;y)

X

F (-p ; 0)

Figura 2

: x = p

El foco es F ( p ;0) y la directriz es x  p . Sustituyendo estos valores en la
ecuación de la parábola, obtenemos ahora:
( x  p )2  (y  0)2 

x p
12

si elevamos al cuadrado y simplificamos la expresión, llegamos a:

y 2  4 px
Observemos entonces que el signo del coeficiente de x nos dice hacia qué lado
se abre la parábola, sies positivo, se abre hacia la derecha, si es negativo se
abre hacia la izquierda.
Consideremos todavía otras parábolas con vértice en el origen, pero ahora con el
foco colocad sobre el eje Y.
Si el foco es F (0; p ) y la directriz es y   p , al sustituir estos valores en (*) se
obtiene:
( x  0)2  (y  p )2 

46

y p
12

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que al simplificarla setransforma en:

x 2  4 py

Finalmente, si el foco es F (0;  p ) y la directriz es y  p , procediendo como
antes se obtiene:

x 2  4 py

Y

Y


X

F

F
X


Parábolas verticales

Podemos resumir los casos de la parábola con vértice en el origen y directriz
paralela a uno de los ejes cartesianos en la siguiente tabla:

Posición

Abre hacia

Ecuación

Horizontalderecha

y 2  4 px

Horizontal

izquierda

y 2  4 px

Vertical

Arriba

x 2  4 py

Vertical

abajo

x 2  4 py

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BLOQUE I
1.- Encuentra el foco y la directriz de las siguientes parábolas
a) y 2  8x

b) x 2  12y

c) x 2  y

d) y 2  4 x

e) y 2  24 x  0

f)

g) y 2  2x  0

h) 3x 2  20y  0

x 2  6y  02.- Encuentra en cada caso la ecuación de la parábola con vértice en el origen y con:
a) Foco en (0;2)

b) Foco en (-½;0)

c) Foco en (4;0)

d) Foco en (0;-5)

e) Directriz x = 5

f) Directriz y = 3

g) Directriz y = -2

h) Directriz x + 2/3=0

3.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, si el foco está
sobre el eje Y y la parábola pasa por el punto P(2;3)

4.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, que abre hacia
abajo y su lado recto mide 12.

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3.

Matemática I

ECUACIÓN ESTÁNDAR DE LA PARÁBOLA
Veamos ahora la ecuación de una parábola que tiene su vértice en cualquier
punto del plano y su eje de simetría paralelo a alguno de los ejes cartesianos.
Si la parábola es horizontal y su foco...