tecnico

U.T.N Confluencia
Análisis Matemático II - Prof. Emilce Sinelli - J.T.P. Prof. Carlos A Tumminello

AÑO 2010 - SEGUNDO CUATRIMESTRE
ANÁLISIS MATEMÁTICO II - ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO PRÁCTICO GENERAL N° 1
INGENIERÍAS ELECTRÓNICA Y QUÍMICA

1) Mostrar que las funciones (explícitas o implícitas) son una solución de la ecuación diferencial dada en cada
inciso, y en los intervaloscorrespondientes:
a) x y' = 3 y
y = 2 x3
en el intervalo (-¶ ,¶)
2
2x
x
2
b) y’ + y = e + e (1-2x) + x -1
f(x) = ex - x
en el intervalo (-¶ ,¶)
2
2
-1
c) x y’’ = 2y
f(x) = x – x
en el intervalo (0 ,¶)
2) Verificar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial correspondiente:
a) y = sen x + x2
en y’’ + y = x2 + 2
b) x= 3 cos t – 5 sen t
en x’’ + x = 0
3)Comprobar si la función implícita dada es una solución o no de la ecuación diferencial correspondiente:
2
2
a) x + y = 6
de
y’ = y/x
6x y'+(y' )3 sen y - 2(y' )2
3
b) Para resolver únicamente con el soft Math: sen y + x y –x = 2 de y’’ =
3x 2 − y
r x
4) En las siguientes ecuaciones determinar el valor de r al sustituir y = e en las ecuaciones diferenciales
siguientes:
a) 3 y' = 2 y
b) 4 y"= y
5) Mediante separación de variables de la forma g(y) y' = f(x) resolver las siguientes ecuaciones:
x−5
a) y’ = 2 ; b) y’ = x3 (1-y) ; c) y’ = y sen q
y
6) Hallar las constantes c indicadas para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales con las
soluciones y las condiciones de borde indicadas:
a) y' =2y
y(x) = C e2x
y(0) = 3
b) y' = 1+y
y(x) = C ex - 1
y(0) = 5
7º)Resolver y aplicar las condiciones de borde:
3x 2 + 4x + 2
a) y’ =
y(0) = -1 ; b) y’ = 2 y + 1 cos x
2y + 1

con y(p) =

ECUACIONES HOMOGÉNEAS:

Nota: una función F(x,y,z,...) se dice homogénea de grado m, sí y sólo si:
∀ t∈ R: F(t x, t y, t z, ....) = tm F(x,y,z,...)
x+y
tx+ty 0
Ejemplo: F(x, y) =
⇒ F(t x, t y) =
= t F(x, y) → m = 0 entonces es una función homogénea de
5x
5tx
grado 0.Ecuaciones diferenciales homogéneas: si ∀ t∈ R: F(tx, ty) = tm F(x,y) entonces la ecuación diferencial

de primer orden es y'=F(x,y) y si se sustituye t=1/x resulta F(x,y)= F(1,y/x) haciendo luego el reemplazo de
u=y/x se pueden separar las variables y resolver como antes.
8) Resolver las siguientes ecuaciones homogéneas mediante la separación de variables de la forma y' = g(y/x)
ysustituyendo luego u = y/x:
a) 2 x y' y - y2 + x2 = 0
3
2
1/2
b) y' = y/x + (2x cos(x ) ) / y
con y(π ) = 0
c) x y' = x+y
d) x y y'= 1/2(x2 + y2)

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS:
9) Empleando la sustitución indicada resolver:
a) y' = (x+y)2
sustituyendo x+y = v
b) y' = tg(x+y) - 1
sustituyendo x+y = v
c) y' = (1 - 2y- 4x)/(1+y+2x)
sustituyendo

y + 2x = v
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10) Considerando y' = f(a x+b y +k) continua, si b = 0 la solución es inmediata, y si b≠0 entonces la
sustitución u = a x+b y+ k resuelve el problema:
a) y' = (x+y-7)2
2
1/2
b) y' = (6y-y -8)
u = y-3

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN CON FACTOR INTEGRANTE:
11) Considerar elfactor integrante
ρ(x) = e ∫
siendo y' + P(x) y = Q(x) . Determinar si las
siguientes ecuaciones son separables, lineales, ninguna o ambas y resolver en casos posibles:
a) x y’ + x3 = y
x
b) dy/dt + x t = e
P(x)dx

12) Sustitución lineal:
Para resolver este tipo de ecuaciones se requiere sustituir las variables x e y por las indicadas, y luego anular
los términos lineales. Resolveragrupando variables y volver a sustituir en sentido contrario:
2y − x + 7
a) y' =
sustitución: x = X + h
y=Y+k
4x - 3y − 18

b) y' =

y - x -1
y+x+3

(sust. x = X + h

y = Y + k)

ECUACIÓN DIFERENCIAL TOTAL EXACTA:

son aquellas que disponen de dos funciones M(x,y) y
N(x,y) de manera que: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 donde se verifica que es EXACTA si hay simetría, es
decir, las...