Tecnico

1. (20%) Factorización y Expresiones racionales.
a) Corregido Factorizar el siguiente polinomio x3 − 6x − 4.
b) Simplificar a la mínima expresión
3
x+1 − x−2
x
2
−1
2x+1
x
2+2x−3
.
Solución:
a) Se descompone el término del medio como x3−4x−2x−4; se agrupan los dos primeros
y los dos últimos, luego se aplican los diferentes casos de factorización
1. (x3 − 4x) + (−2x − 4) . . .Agrupando
2. x(x2 − 4) − 2(x + 2) . . . Factor común en 1
3. x(x − 2)(x + 2) − 2(x + 2) . . . Diferncia de cuadrados en 2
4. (x + 2)[x(x − 2) − 2] . . . Factor común en 3
5. (x + 2)(x2 − 2x − 2) . . . Distributiva e 4
b) Los términos x2−1 y x2+2x−3 son factorizables como (x+1)(x−1) y (x+3)(x−1),
luego se hacen las operaciones con fracciones como sigue
3
x+1 − x−2
x
2
−1
2x+1
x
2+2x−3
=3
x+1 − x−2
(x−1)(x+1)
2x+1
(x+3)(x−1)
=
3(x−1)−(x−2)
(x+1)(x−1)
2x+1
(x+3)(x−1)
=
2x−1
(x+1)(x−1)
2x+1
(x+3)(x−1)
Se aplica ahora la ley de extremos para tener y se cancela el término que hay en
común
(2x − 1)(x + 3)(x − 1)
(2x + 1)(x + 1)(x − 1)
=
(2x − 1)(x + 3)
(x − 1)(2x + 1)
.
2. (20%) Fracciones Parciales. Exprese las fracciones parciales para la siguiente fracciónracional
y encuentre el valor de los coeficientes
4x
(x − 1)2(x + 1)
.
Solución: Los tres términos del denominador x−1, (x− 1)2 y x +1 son todos lineales, es por
ello que las fracciones se plantean como
4x
(x − 1)2(x + 1)
=
A
x − 1
+
B
(x − 1)2 +
C
x + 1
.
Página 2/5 Solución Parcial 1
Se hallan ahora las constantes A, B y C; se busca el denominador común y se procede a la
sumade fracciones como sigue
4x
(x − 1)2(x + 1)
=
A
x − 1
+
B
(x − 1)2 +
C
x + 1
=
A(x − 1)(x + 1) + B(x + 1) + C(x − 1)2
(x − 1)2(x + 1)
Se cancelan los denominadores y se igualan los numeradores para tener
4x = A(x − 1)(x + 1) + B(x + 1) + C(x − 1)2
Para determinar estos coeficientes, se les puede asignar a la x los siguientes números x = 1,
x − 1 y x = 0 (los dos primeros son losque anulan los denominadores de la fracción original y
el tercero es arbitrario)
i. Para x = 1, se tiene la igualdad 4 = B(1 + 1) esto es 4 = 2B y por tanto B = 4/2 = 2.
ii. Para x = −1, resulta la expresión −4 = C(−1 − 1)2, de allí que −4 = (−2)2C = 4C y así
C = −1.
iii. Para x = 0, sustituyendo se nos anula el lado izquierdo y ningún otro término 0 =
A(−1)(+1) + B(+1) + C(−1)2 equivalente a0 = −A + B + C se reemplaza B = 2 y
C = −1 obteniendo −A + 2 − 1 = 0 donde resulta que A = 1.
Con estos resultados, las fracciones parciales se escriben como
4x
(x − 1)2(x + 1)
=
1
x − 1
+
2
(x − 1)2 −
1
x + 1
.
3. (20%) Ecuaciones. De acuerdo a los teoremas sobre ecuaciones dé respuesta a las siguientes
situaciones
a) Encontrar los valores de k para que x − 3 sea un factor deP(x) = k2x3 − 4kx + 3.
b) (x + 2)3 − (x − 1)3 = x(3x + 4) + 8.
Solución
a) Se hará la división sintética con miras a hallar el valor de K, donde
k2 0 −4k 3 +3
3k2 9k2 27k2 − 12k
k2 3k2 9k2 − 4k 27k2 − 12k + 3
Para que sea factor, es necesario que el residuo de la división sea cero, en este caso se tiene
la ecuación 27k2 − 12k + 3 = 0 y se aplica la fórmula general para tener
k =
12 ±p144 −4(27)(3)
2(27)
=
12 ± p144 − 324
54
=
12 ± p−180
54
Página 3/5 Solución Parcial 1
Ya que el radicando nos da negativo, se sigue que no hay valor de k en los reales que haga
que el polinomio x − 3 sea factor de k2x3 − 4kx + 3.
b) Para dar solución a esta ecuación se desarrollan la suma y diferencia al cubo y se aplica
la propiedad distributiva en el lado derecho. Luego se hacen lasoperaciones necesarias
para ver si se cancelan algunos términos tratando de que resulte una ecuación cuadrática.
Veamos
(x3 + 3(x2) · 2 + 3x · 22 + 23) − (x3 − 3x2 + 3x − 1) =3x2 + 4x + 8
x3 + 6x2 + 12x + 8 − x3 + 3x2 − 3x + 1 =3x2 + 4x + 8
9x2 + 9x + 9 =3x2 + 4x + 8
6x2 + 9x + 9 − 3x2 − 4x − 8 =0
6x2 + 5x + 1 =0
La última ecuación es cuadrática, a ella se le aplica la fórmula general, donde...