tecnico

Introducci´
on a las ecuaciones
diferenciales ordinarias
Noem´ı Wolanski

α/β

γ/δ
Diagrama de fases para dos poblaciones simbi´
oticas

´Indice General
Preliminares

5

Cap´ıtulo 1. Introducci´on
1. Generalidades.
2. Descripci´on de algunos m´etodos de resoluci´on de ecuaciones de 1er. orden.
Ejercicios

7
7
10
12

Cap´ıtulo 2. Existencia y unicidad de soluci´onEjercicios

15
22

Cap´ıtulo 3. Sistemas lineales de 1er. orden y ecuaciones lineales de orden n
1. Generalidades y sistemas homog´eneos
2. Sistemas no homog´eneos

23
23
29

Cap´ıtulo 4. Resoluci´on de sistemas lineales con coeficientes constantes
Ejercicios

33
45

Cap´ıtulo 5. Ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes
Ejercicios

47
52

Cap´ıtulo 6.Comportamiento asint´otico de las soluciones
1. Diagramas de fases
2. Diagramas de fases de sistemas lineales a coeficientes constantes
3. Linearizaci´on
4. Sistemas Conservativos
Ejercicios

55
56
60
68
74
79

Agradecimientos

81

Bibliograf´ıa

83

3

Preliminares
El objetivo de estas notas es dar una introducci´on al tema de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias (en adelanteODE) a nivel elemental. Las notas est´an dirigidas a estudiantes de
la materia An´alisis II – Matem´atica 3 de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la
Universidad de Buenos Aires. Al dise˜
nar estas notas debemos tener en cuenta que en esta
materia el tema de ODE se dicta en no m´as de 5 semanas. Es por esta raz´on que ciertos
temas se dejan para desarrollar en los trabajospr´acticos. Entre esos temas est´an los m´etodos
de resoluci´on de ecuaciones de primer orden y muchos ejemplos de aplicaciones que est´an como
ejercicio para los alumnos.
En estas notas discutiremos algunos problemas en los cuales aparecen ODE, daremos la
demostraci´on del Teorema de Existencia y Unicidad local de soluci´on y analizaremos el dominio
de definici´on de las mismas. A fin de dar claridadal texto, daremos las demostraciones bajo
condiciones simples.
Se dar´an los m´etodos de resoluci´on de ecuaciones y sistemas lineales a coeficientes constantes
(tanto homog´eneos como no homog´eneos).
Por otro lado, se discutir´a la noci´on de diagrama de fases y su relaci´on con la posibilidad
de predicci´on del comportamiento de las soluciones sin conocer una f´ormula an´alitica de lasmismas. Se ver´a c´omo son los diagramas de fases de sistemas lineales a coeficientes constantes
de dimensi´on 2 y tambi´en para sistemas no lineales conservativos. Se discutir´a la noci´on de
estabilidad lineal y se utilizar´a para determinar la estabilidad de equilibrios de sistemas no
lineales de dimensi´on 2.

5

CAP´ıTULO 1

Introducci´
on
1. Generalidades.
Sea V (t, x, y, z) uncampo de velocidades correspondiente a un fluido (por ejemplo). En el
curso ya vimos que una part´ıcula que se mueve en el fluido sigue una trayectoria σ(t) tal que su
vector velocidad, σ (t), verifica σ (t) = V (t, σ(t)) para todo tiempo t.
Esto es un sistema de ecuaciones diferenciales de 1er. orden. A saber, si σ(t) = (x(t), y(t), z(t))
se debe tener para todo t,

x = V1 (t, x, y, z),

y = V2 (t, x, y, z),
(1.1)


z = V3 (t, x, y, z).
Claramente, para determinar la posici´on de una part´ıcula en un instante t debemos conocer
tambi´en su posici´on en alg´
un instante t0 ya que en un instante dado habr´a part´ıculas en diferentes
puntos y por lo tanto sus trayectorias no son iguales.
De modo que lo que nos plantearemos ser´a encontrar una soluci´on de (1.1) sujetaa que
σ(t0 ) = X0 donde t0 ∈ R y X0 ∈ R3 son dados.
Por ejemplo, en una variable podr´ıamos intentar resolver el problema
x = x,
x(0) = 1.
Tenemos

x
x (t)
d
= 1, pero
=
log x(t). Por lo tanto, lo que queremos es que
x
x(t)
dt
d
log x(t) = 1
dt

para todo t.

De aqu´ı que se deba tener log x(t) = t + c para alguna constante c. Como para t = 0 tenemos
x(0) = 1. Debe ser...