tecnico

Cinemática diferencial y estática
En el capítulo anterior, la cinemática directa e inversa ecuaciones establecimiento
la relación entre las variables conjuntas y el efector final pose Were
derivada. En este capítulo, se presenta la cinemática diferencial que le da la
relación entre las velocidades conjuntas y el correspondiente efector final
lineal y la velocidad angular. Este mapeo sedescribe por una matriz, denominada
Jacobiano geométrica, que depende de la configuración manipulador. Alternativamente,
si el efector final actitud se expresa con referencia a un mínimo
la representación en el espacio operativo, es posible calcular el Jacobiano
matriz a través de la diferenciación de la cinemática directos función con respecto
a las variables conjuntas. El jacobiano resultante,denominado jacobiano analítico, en
en general difiere de la geométrica. El jacobiano constituye una de las
la mayoría de las herramientas importantes para la caracterización manipulador; De hecho, es útil para
encontrar singularidades, el análisis de la redundancia, la determinación de cinemática inversa
algoritmos, que describen el mapeo entre las fuerzas aplicadas al efector final
y paresde torsión resultante en las articulaciones (estática) y, como se verá en la siguiente
capítulos, se derivan las ecuaciones dinámicas de movimiento y el diseño operacional
esquemas de control de espacio. Finalmente, el concepto dualidad Kineto-estática se ilustra,
que está en la base de la definición de la velocidad y la fuerza de elipsoides manipulabilidad.
3.1 Jacobiana geométrica
Considerela posibilidad de un manipulador-n DOF. La ecuación cinemática directa se puede escribir en la forma

T e(q) = Re(q) pe(q)
0T 1
donde q = [q1. . . qn] T es el vector de variables conjuntas. Tanto efector final
posición y orientación varían como q varía.





3 Diferenciales Cinemática y Estática
El objetivo de la cinemática diferenciales es encontrarla relación entre
las velocidades conjuntas y la lineal efector final y velocidades angulares. en otra
Es decir, se desea expresar el efector final PE velocidad lineal y angular
ωe velocidad en función de la Q de velocidades conjunta. Como se verá después,
las relaciones buscados son tanto lineales en las velocidades de articulación, es decir,
pe = JP (q)˙q (3.2)ωe = JO(q)˙q . (3.3)
En (3.2) JP es la matriz (3 × n) la contribución relativa de las velocidades conjuntas
˙q
al extremo efector velocidad lineal PE, mientras que en (3.3) JO es la (3 × n)
matriz que relaciona la contribución de las velocidades conjuntas q al efector final
ωe velocidad angular. En forma compacta, (3.2), (3.3) se puedeescribir como

ve = pe = J(q)˙q (3.4)
ωe
lo que representa el manipulador cinemática diferencial ecuación. El (6 × n)
matriz J es el jacobiano geométrica manipulador

J = JP (3.5)
JO

que en general es una función de las variables conjuntas.
Con el fin de calcular el Jacobiano geométrica, vale la pena recordar unnúmero
de las propiedades de las matrices de rotación y algunos resultados importantes del cuerpo rígido cinemático
.
3.1.1 Derivada de una matriz de rotación

La ecuación cinemática directa del manipulador en (3.1) se describe el efector final
representar, como una función de las variables conjuntas, en términos de un vector de posición y una
matriz de rotación. Puesto que el objetivo escaracterizar el lineal efector final y
velocidades angulares, vale la pena considerar primero la derivada de una rotación
matriz con respecto al tiempo.
Considere una matriz de rotación R variable en el tiempo = R (t). En vista de la ortogonalidad
de R, se tiene la relación

R (t) RT (t) = I

que, diferenciada con respecto al tiempo, da la identidad
R(t) RT (t) + R (t) RT (t) = O.
Set...