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INTRODUCCION:
es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo desistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de lossistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción ymás generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Desarrollo :

Definición.
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjuntode ecuaciones de la forma:

donde x1, ..., xn son las incógnitas,  b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas, formando una matriz quedenominaremos A, matriz de coeficientes. Cuando el término independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogéneos.
Un conjunto de n números que verifiquentodas las ecuaciones se llama solución del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verificantodas las ecuaciones.
Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:
Sistema incompatible:  son aquellos que no poseen solución.
Sistemacompatible:  son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos, podemos hablar de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.
Sistema compatible indeterminado: sistemas coninfinitas soluciones.
En un sistema de ecuaciones lineales sólo se pueden dar estas tres situaciones, es decir, o no tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas, por lo tanto, nunca podemos...