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6.1 DEFINICION DE SUCESION


Sucesión: una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos (naturales). A cada número natural se le hace corresponder uno y sólo un número real de acuerdo con la regla de la función.
Una sucesión es, pués, un conjunto de pares ordenados de números en los que el primer elemento es un natural y el segundo elementoun real. A los números reales en el contradomino de la sucesión se les denomina términos de la misma.







6.2 LIMITE DE UNA SUCESION

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es unasucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tengaun límite (Véase sucesión de Cauchy).
Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.




6.3 SUCESIONES MONOTONAS Y ACOTADAS.
Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural
an = an).

Ejemplo:

an = 1/n es monótona decreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2,a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Sucesión acotada

M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.

Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.

Teorema

Toda sucesión monótona y acotada converge.

A) an monótona
    Existen m y M / m < an < M para todo n.
B) lim an = b


Demostración:Queremos probar que existe N / para todo n > N |an - b| < ε.
Supongamos que an es creciente (si suponemos que es decreciente, la demostración es análoga).

an < M para todo n

Es decir que el conjunto de todos los términos de la sucesión S = {a1, a2, a3, ...} tiene extremo superior (la menor de las cotas superiores), llamémosle b.
Sea ε>0

b - ε no es cota superior de S pues es menor queel extremo superior
=> existe N / aN > b-ε.
an es creciente => para todo n > N an >= aN => an > b-ε => -(an - b) < ε (1)

b+ε también es cota superior de S
=> para todo n an < (b+ε) => => an - b < ε (2)

=> De 1) y 2) para todo n > N |an - b| < ε

Teorema

Toda sucesión convergente es acotada.

A) an convergente
B) an acotada

Demostración:

an es convergente, eso significaque tiene límite finito: lim an = a
=> (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe N / para todo n > N a-ε < an < a+ε
=> (por def. de sucesión acotada) an está acotada.

Nota: El recíproco no es cierto. Que una sucesión esté acotada no implica que sea convergente.

ejemplo: an = (-1)n está acotada pero no es convergente.
-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...
DefiniciónPar de sucesiones monótonas convergentes
((an),(bn)) es un par de sucesiones monótonas convergentes si
a) an es creciente y bn decreciente.
b) Para todo n natural an 0 existe h natural / bh - ah < ε


Ejemplo:
an = -1/n, bn = 1/n
an es creciente.
Debemos probar que an+1 >= an, o sea an+1 - an >= 0
-1 -1 -n + n + 1 1
--- - --- = ---------- = ------ > 0
n+1 n n(n+1)n2 + n

bn es decreciente.

Debemos probar que bn+1 = 0
1 1 n + 1 - n 1
--- - --- = --------- = ------ > 0
n n+1 n(n+1) n2 + n

Para todo n an < bn
-1 1
--- < --- pues -n < n para todo n.
n n

Dado ε>0, existe h / bh - ah < ε
1 -1 2
--- - --- = --- < ε
h h h
Para que se...