Tecnoanalisis





Ecuaciones diferenciales
Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales lineales



Integrantes:
Luis Hinestroza
David Rodríguez
Walderman García


Grupo:
DD2
Crecimiento y Decrecimiento
En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece de forma proporcional al número de bacterias presentes, transcurridas 3 horas se observa que la población de bacterias en elcultivo es de 700, luego de 13 horas, se encuentran en al cultivo 4500 especímenes, de acuerdo a esto, cuál era la población inicial de bacterias en el cultivo
Datos Interrogantes
En t = 0, P = ?
En t = 3, P = 700
En t = 13, P = 4500Formula



Remplazamos
1) En t = 3, P = 700 700 = c
2) En t = 13, P = 4500 4500 = c

Para resolver el sistema de ecuaciones, dividimos la ecuación 1 entre la 2


Ya que tenemos el valor de k despejamos la constante c
700 = c
C = 400,64
Ya que tenemos las constantes k y c solo nos falta hallar el valor de
P = 400,64
En t = 0, P =
= 400,64 = 400,64
// = 400,64//

Vida Media
La vida media de un estroncio90 es de 25 años eso significa que la mitad de cualquier cantidad dada de estroncio90 se desintegra en 25 años
a Si una muestra de estroncio90 tiene una masa de 24mg, encuentre una expresión para la masa que queda después de t años
b Encuentra la masa restante después de 40 años

DatosInterrogantes
En t = 0, m = 24 = 24 =?
En t = 25, m = 12 = 12
a)




m =


Remplazamos cuando t = 0 para hallar la constante c
24 = c * c = 24

Despejamos k cuando t = 25



// //
b)

// //
+
C-14 (Carbono radioactivo)
La teoría para determinar las edades aproximadasde fósiles con el isótopo del elemento carbono, C-14, se basa en que este isótopo se produce en la atmósfera por la acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La relación de la cantidad de C-14, al carbono ordinario en la atmósfera, C-12 al parecer es constante y, como consecuencia, la cantidad proporcional de isótopo presente en todos los organismos vivos es la misma que en la atmósfera.Cuando muere un organismo, cesa la absorción de C-14, ya sea por respirar o por comer. Así al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fósil con la relación constante encontrada en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la edad del fósil. El método se basa en el conocimiento de que la vida media del C-14 radioactivo es del alrededor de 5600años.
Tiempo
Constante de proporcionalidad (o decaimiento)
Cantidad de c-14 en el tiempo

Para saber la cantidad de C-14 en el tiempo, se obtiene de la siguiente forma:


Separamos las variables a cada lado de la expresión


Sacamos el factor integral:


Nos queda que:

Aplicando la derivada de un producto en la ecuación, nos queda:

Integrando:

Entonces:

Despejando , nosqueda:

Para hallar la constante se puede despejar la ecuación en funciones iniciales, sabiendo que si el tiempo es igual a 0, la expresión queda:

Eso quiere decir que:

Ahora nos queda la expresión de la siguiente forma:
Ecuación 1
Pasa saber la vida media del carbono 14 tenemos:

Con esto, remplazamos en la ecuación 1 nos queda:

Despejando nos queda:


Entonces es igual:Eso quiere decir que la ecuación 1 será igual a:
Ecuación 2
Ejercicio
Se encuentra el hueso fosilizado de un animal, que contiene una milésima de la concentración de C-14 que se encuentra en la materia viva. Estime la edad del fósil.
Solución:
De la ecuación 2 tenemos que despejar :



Despejando t:

Llamando la ecuación de otra forma uniendo los logaritmos naturales, nos...