tecnologia de materiales

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T.1 MATEMATICAS I.

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GRADO EN INGENIER´ MECANICA
IA

TEMA 1
Funci´n real de variable real. Continuidad y derivabilidad.
o
1.

Repaso del concepto de funci´n real de variable real. L´
o
ımite
de una funci´n en un punto.
o

Funci´n real de variable real. Tipos de funciones.
o
Definici´n 1 (Funci´n real de variable real) Definimos funci´n real de variable real
o
o
o
a unaaplicaci´n de un subconjunto D de R que hace corresponder a cada n´mero real x ∈ D
o
u
otro n´mero real unico; lo expresamos de la siguiente forma:
u
´
f : D ⊆ R −→ R
x −→ f (x) = y
A x se le llama variable independiente, a f (x) = y variable dependiente o imagen y al
conjunto D se le llama dominio de definici´n o campo de existencia.
o
Definir una funci´n supone dar el conjunto dominio Dy la “regla”de c´mo asignar a cada
o
o
elemento x del dominio su imagen. Si, como es habitual, el dominio no se da de forma expl´
ıcita,
entenderemos que es el conjunto de los n´meros reales para los que tenga sentido, como funu
ci´n real de variable real, f (x). En tal caso, previamente al estudio de la funci´n, habr´ que
o
o
a
determinar el dominio de definici´n de la misma.
oEjemplo. Calcular el dominio de la siguiente funci´n y =
o

x2 − 4
2x + 3

Como es una ra´ cuadrada, el radicando tendr´ que ser no negativo; adem´s por ser el
ız
a
a
radicando un cociente, el denominador tiene que ser distinto de cero, por tanto:
x2 − 4
≥ 0,
2x + 3

2x + 3 = 0 =⇒ D = − 2, −

3
∪ 2, +∞
2

Definici´n 2 (Grafo) Sea f : D ⊆ R → R, llamamos grafo de f y lo representamospor Gf
o
al conjunto:
Gf =

(x, y ) ∈ R × R / x ∈ D, y = f (x) .

A la representaci´n del grafo en el plano se le denomina gr´fica de la funci´n.
o
a
o
Definici´n 3 (Funci´n mon´tona) Sea f : D ⊆ R → R, decimos que f es una funci´n
o
o
o
o
creciente en A ⊆ D si:
Para cada x, x ∈ A, si x < x ⇒ f (x) ≤ f (x ).

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Se diceque f es una funci´n decreciente en A ⊆ D si:
o
Para cada x, x ∈ A, si x < x ⇒ f (x) ≥ f (x ).
Cuando se verifica la desigualdad estricta se dice que el crecimiento o decrecimiento es estricto.
Si una funci´n es creciente o decreciente se le llama mon´tona.
o
o
Definici´n 4 Sea f : D ⊆ R → R y x0 ∈ D. Se dice que f es creciente (decreciente) en
o
x0 si existe r > 0 de modo que f escreciente (decreciente) en (x0 − r, x0 + r) ∩ D.
Definici´n 5 (Funci´n acotada) Sea f : D ⊆ R → R, decimos que f est´ acotada supeo
o
a
riormente en D si:
Existe K ∈ R / para cada x ∈ D ⇒ f (x) ≤ K.
Decimos que f est´ acotada inferiormente en D si:
a
Existe K ∈ R / para cada x ∈ D ⇒ f (x) ≥ K.
Si una funci´n est´ acotada superiormente e inferiormente decimos que est´ acotada.
o
a
a
Definici´n 6(Funci´n sim´trica) Sea f : D ⊆ R → R, decimos que f es par si
o
o
e
f (−x) = f (x),

para cada x ∈ D.

Una funci´n par es sim´trica respecto del eje OY.
o
e
Sea f : D ⊆ R → R, decimos que f es impar si
f (−x) = −f (x),

para cada x ∈ D.

Una funci´n impar es sim´trica respecto del origen de coordenadas
o
e
Ejemplos.
1. Determinar la paridad de las siguientes funciones:
f (x)=

2x + 2−x
x

f (−x) =

2−x + 2x
2x + 2−x
=−
= −f (x)
−x
x

g (−x) =

(−x)2
x2
=
= ±g (x)
(−x)3 + 1
−x3 + 1

y

g (x) =

x2
.
x3 + 1

por tanto la funci´n es impar.
o

esta funci´n no es par ni impar.
o

2. La funci´n senx es impar y la funci´n cosx es par.
o
o

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Definici´n 7 (Funci´nperi´dica) Sea f : D ⊆ R → R y T ∈ R+ , f es una funci´n
o
o
o
o
peri´dica si se verifica:
o
f (x + T ) = f (x)

para cada x ∈ D.

Al m´
ınimo valor de T que verifica dicha relaci´n se le llama per´odo.
o
ı
Si una funci´n es peri´dica de per´
o
o
ıodo T se verifica f (x + nT ) = f (x),
D y para cada n ∈ Z.

para cada x ∈

Operaciones con funciones. Funci´n inversa.
o
Definici´n 8...