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Matem´ tica B´ sica a a

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1. Determinar los valores de m y n para los cuales la recta de ecuaci´ n (m + 2n − 3)x + (2m − n + 1)y + 6m + 9 = 0 es o paralela al eje x e intercepta al eje y en el punto (0, −3). y

(0, −3) Ya que (0, −3) ∈ L, entonces

L : (m + 2n − 3)x + (2m − n + 1)y + 6m + 9 = 0

Ahora como la recta L : (m + 2n − 3)x + (2m − n + 1)y + 6m + 9 = 0 es paralela al ejex, entonces m − 2n + 3 = 0, y como n = −2, por tanto m = 7.

2. Sean las rectas

Si A y B son los puntos figura mostrada. Hallar d[A, B]. y

FA
25 25

Ya que L1 //L2 , entonces d(L1 , L2 ) = √ √ √ tanto d[A, B] = 2 3 2 = 2 6.

FACFYM-UNPRG

CF Y
L1 : − 4 + 3 y = 0 √ 5 5 L2 : − 4 x + 3 y − 2 3 = 0 5 5 L2 A L1 45◦ 45◦ B Soluci´ n: o √ | − 2 3| 1

(m + 2n − 3)(0) + (2m − n + 1)(−3) +6m + 9 = 0 −6m + 3n − 3 + 6m + 9 = 0 n = −2.

√ √ = 2 3 = k. Ahora del gr´ fico se observa que d[A, B] = k 2, por a

M
x x

Soluci´ n: o

Escuela de Electr´ nica o

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3. Hallar el area del paralelogramo mostrada en la figura. Si: ´ L1 : P = t(9, 12) , t ∈ R. L2 : (4, 10) + s(3, 4) , s ∈ R. L2

y

10

Soluci´ n: o x y Ya que L1 : P = (0, 0) + t(9,12), entonces = y as´ L1 : 4x − 3y = 0. An´ logamente puesto que L2 : ı a 9 12 y − 10 x−4 = , as´ L2 : 4x − 3y + 14 = 0. Ahora calculando la distancia entre dichas ı (4, 10) + s(3, 4), entonces 3 4 rectas d(L1 , L2 ) = |14| 14 = . 5 5

Finalmente el area del paralelogramo ser´ ´ a

FA

4. Hallar el punto Q que divide al segmento AB con A = (1, 2), B = (9, 7) en:

a) 2:(−3) El punto Q estadeterminado por

donde m = 2, n = −3. Entonces

FACFYM-UNPRG

CF Y
A = 10.d = 10 A = 18 u2 . 14 5 Soluci´ n: o Q= Q = 2

a) 2 : (−3) b) 3 : 2 c) (−12) : (−6)

n m A+ B n+m n+m

−3 2 (1, 2) + (9, 7) −1 −1 Q = (−15, −8).

M
d L1 (6, 8) x Escuela de Electr´ nica o

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b) 3:2 Entonces m = 3, n = 2. As´ ı

Q = c) (−12):(−6) Entonces m = −12, n =−6. As´ ı Q = Q =

a 5. Demostrar que la distancia entre dos rectas paralelas L1 : ax + by + c = 0 y L2 : ax + by + c′ = 0, est´ dada por las siguiente f´ rmula: o |c − c′ | d(L1 , L2 ) = √ . a2 + b2 Soluci´ n: o

FA

Sea P0 = (x0 , y0 ) ∈ L1 , entonces ax0 + by0 + c = 0. Como calcular la distancia de dos rectas paralelas, es equivalente a calcular a las distancia de alg´ n punto de la recta L1hacia la recta L2 , es decir u d(L1 , L2 ) = d(P0 , L2 ) = |c − c′ | √ . a2 + b2 |ax0 + by0 + c′ | √ a2 + b2

6. Hallar la ecuaci´ n de la recta que est´ situada a 6 u del origen, que pasa por (10, 0) y que corta a la parte positiva del eje o a y. Soluci´ n: o

FACFYM-UNPRG

CF Y
L1 P0 (x0 , y0 ) d(L1 , L2 ) L2 d(L1 , L2 ) = 3

−6 −12 (1, 2) + (9, 7) −18 −18 19 16 , . 3 3

M
Escuela deElectr´ nica o

Q =

2 3 (1, 2) + (9, 7) 5 5 29 ,5 . 5

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(0, b)

V (0, 0) Ya que L :
x a

+

y b

= 1, entonces L : xb + 10y − 10b = 0. Ahora como d(V, L) = 6, entonces

Por tanto la ecuaci´ n de la recta est´ dada por o a

7. Hallar los coeficientes a y b de la ecuaci´ n L : ax + by + c = 0 de una recta, si debe pasar por los puntos (1, 4) y(3, −2). o Soluci´ n: o Ya que (1, 4) ∈ L, entonces a + 4b + 6 = 0, multiplicando estas ecuaci´ n por (−3), tenemos −3a − 12b = 18 · · · (I). o Tambi´ n (3, −2) ∈ L, entonces 3a − 2b = −6 · · · (II). e

Ahora uniendo las ecuaciones (I) y (II), tenemos:

FA
18 . 7

Entonces a = −

8. Hallar la ecuaci´ n de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas paralelas L1 : 12x−5y+7 = 0, L2 :12x−5y−2 = 0. o Soluci´ n: o FACFYM-UNPRG 4 Escuela de Electr´ nica o

CF Y
= = 6 L: ⇒ L:
15 2 x

|xb + 10y − 10b| √ b2 + 102 |(0)b + 10(0) − 10b| √ b2 + 102 | − 10b| √ b2 + 100

10b = 6( b2 + 100) 15 . b = 2

+ 10y − 75 = 0 3x + 4y − 30 = 0.

−3a − 12b 3a − 2b −14b

M
(10, 0) L = 6 = = = = b 18 −6 12 6 − . 7

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Matem´ tica B´ sica a a L1 : 12x − 5y + 7 = 0 L

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P = (x,...