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TEMA 6 – NÚMEROS COMPLEJOS – MATEMÁTICAS I – 1º Bach.

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TEMA 6 – NÚMEROS COMPLEJOS 6.1 – EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS
DEFINICIONES Al resolver ecuaciones del tipo : x2 + 1 = 0 ⇒ x = ± números reales.
− 1 que no tiene solución en los

Los números complejos nacen del deseo de dar validez a estas expresiones. Para ello es necesario admitir como número válido a − 1 y a todos losque se obtengan al operar con él como si se tratara de un número más. Unidad imaginaria: Se llama así al nuevo número − 1 . Y se designa por la letra i i = − 1 ; i2 = -1 (El nombre i viene de imaginario) Números complejos: Son las expresiones: a + bi, donde a y b son números reales. Componentes: La expresión a + bi, se llama forma binómica de un número complejo porque tiene dos componentes: a =Parte real; b = Parte imaginaria. Igualdad: Dos números complejos son iguales sólo cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria. El conjunto de todos los números complejos se designa por C. C = {a + bi / a, b ∈ R} Los números reales son complejos: R ⊂ C: Los reales son números complejos cuya parte imaginaria es cero: a + 0i = a Números imaginarios: Son los números complejoscuya componente imaginaria no es cero. Por tanto, un número complejo o es real o es imaginario. Números imaginarios puros: son los imaginarios cuya parte real es cero: 0 + bi = bi Opuesto de un número complejo z = a + bi : -z = -a –bi Conjugado de un número complejo z = a + bi : z = a - bi REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Las sucesivas categorías de números (naturales, enteros, racionales,...) se puedenrepresentar sobre la recta. Los reales la llenan por completo, de modo que a cada número real le corresponde un punto en la recta y cada punto, un número real. Por eso hablamos de recta real.

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Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta y llenar el plano, pasando así de la recta real al plano complejo. Losnúmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa mediante el punto (a,b) que se llama afijo, o mediante un vector de origen (0,0) y extremo (a,b). Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real y los imaginarios puros, sobre el eje imaginario.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOCualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga solución real tiene dos soluciones imaginarias que son números complejos conjugados.

6.2 – OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Las operaciones con los números complejos en forma binómica se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales y teniendo en cuenta que i2 = -1.
SUMA: Lasuma de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias.

z + z’ = (a + bi) + (a’ + b’i) = a + bi + a’ + b’i = (a + a’) + (b+b’)i
RESTA: La resta de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la resta de las partes reales y cuya parte imaginaria es la resta de laspartes imaginarias.

z - z’ = (a + bi) - (a’ + b’i) = a + bi - a’ - b’i = (a - a’) + (b-b’)i
MULTIPLICACIÓN

z.z’ = (a + bi).(a’ + b’i) = a.a’ + a.b’i + ba’i + b.b’i2 = a.a’ + a.b’i + a’.bi – b.b’ = = (a.a’ - b.b’) + (a.b’ + a’.b)i Nota: Si multiplicamos un número complejo por su conjugado obtenemos un número real: z.z = (a + bi).(a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 – b2.i2 = a2 + b2
DIVISIÓN:Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador.

z a + bi (a + bi).(a '− b' i) (a.a '+ b.b' ) + (b.a '−a.b' )i a.a '+ b.b' ba '−a.b' = = = = 2 2 + 2 2i z' a '+ b' i (a '+ b' i)(a '− b' i) a ' 2 + b' 2 a ' + b' a ' + b'
POTENCIAS DE i :

i0 = 1; i = i; i2 = -1; i3 = -i; i4 = 1; ...... in ⇒ se divide n entre cuatro y nos quedamos con el resto (0,1,2,3) ⇒ in = ir

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