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Teoremas de derivabilidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.
Cómo saber si una función es derivable?
Para que una función sea derivable, tiene quecumplir 3 condiciones:
1º) La función es continua
2º) Existe el límite de la función, cuando x tiende al punto "a"
3º) El límite de la función cuando x tiende a "a", vale f(a)
Para tus ejemplos:F(x) = [3/2 - (1/2).x^2 si x1] también lo es.
Referente a si "con saber que f´(x) existe para x en (0,2) es suficiente para decir que f es derivable en [0,2]".
Si es suficiente, puesto que sif´(x) existe, significa que existe su derivada.

Regla de l'Hôpital
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla queusa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine,marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculodiferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
Teorema de Rolle
En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra laexistencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema delvalor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
Criterio de la primera derivada
Se llama Criterio de la primera derivada almétodo o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada...