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UNIDAD 3.
La Circunferencia.
La ecuación de la circunferencia

Juan Adolfo Álvarez Martínez
Autor

LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia podemos decir de manera informal que es el conjunto de
puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un
punto dado llamado centro.
Y como definición formal de geometría analítica podemos decir que es:
Ellugar geométrico de todos los puntos cuya distancia (conocida como
radio) a un punto fijo llamado centro es constante.
Cabe aclarar que El centro no es un punto de la circunferencia.
La siguiente figura trazada con el apoyo del software Geogebra en un plano
cartesiano muestra de manera precisa la definición.

En esta Figura el centro se ubica en el origen del sistema de coordenadas y el
radioes igual a 2 unidades.
Se enfatiza el hecho de que es importante tener el programa Geogebra en tu
computadora, el cual puedes descargar de la sección de recursos para poder
realizar la comprobación de las graficas.
Continuando con la explicación del tema, como ya sabes una forma de dibujar
la circunferencia es por medio de un compás, y para lo cual el centro nos
permite ubicar la posición apartir de donde se traza la circunferencia y el radio
la extensión de dicha figura. Por ello la definición dada inicialmente cumple con
esta condición.
La circunferencia en conjunto con otras figuras que son la elipse, la parábola y
la hipérbola pertenecen a un conjunto llamado cónicas el cual se estudia en
geometría analítica desde hace muchos siglos.
El estudio de las cónicas tiene suorigen en el libro de Apolonio de Pergamo,
las Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar
un cono cualquiera por diversos planos.

La siguiente figura muestra el corte del cono y su obtención de la
circunferencia.

Anteriormente a este trabajo realizado por Apolonio ya existían estudios
elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares alas generatrices de un cono obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas
según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso,
respectivamente.
Sin embargo, si bien no se disponía de la geometría analítica como hoy la
conocemos, Apolonio hizo un tratamiento detallado de las mismas.
Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta
que Fermat yDescartes, inventores de la geometría analítica fundamentaron
con precisión su estudio.
Veamos algunos ejemplos de circunferencias con sus respectivas ecuaciones.
Hay que poner especial atención en identificar dos aspectos que son:



La posición del centro de la circunferencia, así como su radio.
La ecuación que le corresponde.

Grafica 1:
Ahora en la segunda grafica localiza lascoordenadas del centro y
determina la medida del radio únicamente por medio de la observación.
Grafica 2:

Si haces una comparación de las graficas, te darás cuenta de que al cambiar
la posición del centro de la circunferencia se modifica la ecuación, por lo tanto
es importante conocer los datos tanto de las coordenadas del centro como del
radio ya que de eso depende la ecuación y por supuesto lagrafica en el plano
cartesiano.
En particular, esta segunda circunferencia tiene por coordenadas del centro al
punto (1,2) y su radio mide 3 unidades. Los cuales son números que se ven
incluidos en la ecuación.
A manera de anotación, vamos a definir entonces la ecuación que corresponde
a cada tipo de grafica iniciando con:

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN.

Veamosalgunos ejemplos de ecuaciones con su respectiva grafica.
Ejemplo 1.
Representar gráficamente la circunferencia que tiene como ecuación:
x2+y2 - 4= 0
En primer lugar lo que se debe hacer es escribir la expresión en forma de la
ecuación ordinaria, es decir de la forma: x2+y2 =r2, de manera que podamos
identificar el valor del radio, y como ya se mencionó anteriormente, este tipo de
ecuación...