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Ejemplo N° 1
La compañía desea conocer cuantas unidades de cada tipo de artículo debe producir en el periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los artículos. Se supone que todos los artículos producidos se venden y que la utilidad unitaria permanece constante, sin importar la cantidad vendida.
Construcción del modelo:
Siguiendo la metodología propuesta en este capitulo,una vez comprendida la situación que se describe, vamos a organizar los datos en una tabla; con lo cual será más fácil su utilización para construir el modelo.
Un bosquejo de la situación puede ser el que se muestra en la siguiente gráfica, en la cual se observa que los elementos claves del problema son las tres materias primas y los dos tipos de artículos, mientras que el objetivo es maximizar lautilidad. De esta manera aparece claro que el objetivo se medirá en pesos / periodo.
De igual forma salta a la vista que las actividades alternativas son, como lo dice el enunciado, producir artículos tipo 1 y producir artículos tipo 2. Téngase en cuenta que las actividades no son excluyentes sino que pueden darse simultáneamente a determinados niveles; desde llevarse a cabo una sola de ellas,hasta ejecutarse ambas en cierta combinación. Todo ello depende de la relación entre su contribución al objetivo y a su consumo de las materias primas.
Debemos usar unas variables para cuantificar el nivel o grado al cual llevaremos a cabo cada actividad.
Por ello definimos las variables así:
X1 : cantidad de artículos tipo 1 a fabricar en el período.
X2 : cantidad de artículos tipo 2 afabricar en el período.
Una vez definidas las variables de decisión y comprendido el objetivo del problema, el modelo se plantea así:
Función del objetivo
Utilidad total = 400X1+ 300X2 $/periodo
Limitantes o restricciones en el logro del objetivo
La cantidad utilizada de cada materia prima debe ser menor o igual que la cantidad disponible.
Los valores de todas las variables deben ser mayores oiguales a cero
(Condición de no negatividad de las variables)
X1 = 0, X2 = 0
Por lo cual el modelo tendrá la siguiente forma final:
Minimizar Utilidad total = 400X1+ 300X2
Con X1, X2 = 0
Mas con el propósito de ilustrar la manera de verificar la compatibilidad de unidades, que con el de constatar la veracidad del modelo, pues este es muy elemental, vamos a analizar un análisis bidimensional delas funciones.
En la función objetivo:
400 ( $ / unidad de P1) * X1 ( unidades de P1 / período)
+ 300 ( $ / unidad de P2) * X2 ( unidades de P2 / período) = ( $ / período)
Se verifica que son las mismas unidades de la función objetivo.
En las restricciones analicemos únicamente para el consumo de la materia prima A, pues para las otras es similar.
1(libra de A/unidad de P1) * X1 (unidades deP1/periodo)
+ 1(libra de A/unidad de P2) * X2 (unidades de P2/periodo) = (libras de A/periodo)
Que coinciden con las unidades del miembro derecho de la primera desigualdad.
(150 lb. de A/periodo)
Adviértase que la condición de no negatividad de las variables, tiene sentido lógico en este modelo, ya que no se puede fabricar una cantidad negativa de alguno de los tipos del artículo.
Luegoevaluaremos problemas en los cuales se puede presentar el caso de que una o mas variables puedan tomar valores entre menos infinito y más infinito o incluso que algunas variables deban tomar valores negativos o cero. En estos casos debemos efectuar los ajustes necesarios en el modelo para que todas las variables estén condicionadas a ser no negativas, ya que esta es una condición del algoritmoutilizado para la solución de los modelos de P.L.
Por este motivo a la condición de no negatividad de las variables se le llama en muchos casos condición técnica (de no negatividad).
Debemos interpretar también, la parte del enunciado referente a que la empresa supone que vende todos los artículos producidos y que la utilidad permanece constante. La primera parte nos indica que no hay límites en...