tecnologico

UNIDAD III LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica IF y los fundamentos de las matemáticas

Resumen
El objetivo del presente artículo es someter a escrutinio la afirmación de Hintikka según la
cual la verdadera lógica elemental no es la clásica sino la lógica IF y, en consecuencia, el
marco en que ordinariamente son pensadas las relaciones entre lógica y matemáticas es por
completo inadecuado. Paraello, primero se exponen las funciones o características que una
lógica debe poseer y, en segundo lugar, se presentan las ideas constitutivas de la lógica IF.
Más adelante se demuestran algunas de las propiedades matemáticas de la lógica IF y se
analizan las complejidades a que da lugar la negación en este sistema. Por último, se
ofrecen algunas razones para matizar o poner en duda lasconclusiones que Hintikka extrae
de su propuesta para la filosofía de las matemáticas.

¿QUÉ ES O QUÉ DEBE SER LA LÓGICA?
Es sólito utilizar la palabra lógica en una acepción tal que admite el plural. Se habla de lógica
modal, intuicionista, para consistente, etcétera. Sin embargo, hay otra acepción de la palabra
que no consiente tan fácilmente el plural; por ejemplo, el logicismo, la doctrina endonde la
matemática es reductible a la lógica, supone en su formulación y en su defensa una idea
previa de lo que es la lógica. Es en este sentido que se aseveraba que el axioma del infinito
no era un principio lógico y que Willard Van Orman Quine y Georg Boolos han debatido en
torno a si la lógica de segundo orden es o no parte de la lógica. La determinación extensional
del concepto lógica,es decir, la determinación de qué comprende este concepto, supone
también una idea previa de lo que es o debe ser la lógica, sólo que esta idea no siempre es
precisada a través de una definición, sino que permanece implícita y sus rasgos centrales,
según las diferentes posiciones, pueden ser deducidos de la discusión misma. ¿Cuáles son
estos rasgos? Sería muy difícil dar una respuesta concisa.Algunos autores han propuesto
ciertas características que la lógica debe tener y ciertos fines que debe cumplir. Entre ellos
están los siguientes:
(1) La lógica debe suministrar una explicación, en el sentido carnapiano de la palabra, de la
noción intuitiva de argumento correcto. Es decir, la lógica proporcionará un concepto preciso
de argumento correcto que sea de aplicación sencilla ycorresponda lo mejor posible a
nuestra noción ordinaria de lo que es la corrección de argumentos. Más precisamente, la
lógica proveerá un criterio lo más simple y algorítmico posible que, aplicado a la paráfrasis de
un argumento del lenguaje ordinario, determine su validez sin apartarse demasiado de
nuestras intuiciones.
(2) La lógica debe proveer un lenguaje en el que sea posible parafrasear losenunciados del
discurso científico, de tal manera que las ambigüedades propias de dichos enunciados
desaparezcan en su traducción al lenguaje lógico. Este lenguaje de paráfrasis debe ser lo

más expresivo posible, es decir, tolerar la traducción de la mayor cantidad posible de
enunciados del lenguaje científico. En el mejor de los casos, toda la ciencia debería poderse
expresar en ellenguaje lógico. Aún más, para Gottlob Frege, la lógica debe proporcionar el
lenguaje del pensamiento, donde sea posible expresar sin ambigüedad todo pensamiento
susceptible de aseveración. En ese sentido, la lógica debe ser universal. De acuerdo con
algunos autores, esta tarea debe subordinarse a la anterior: la lógica proveé un lenguaje en
que parafrasear los argumentos del lenguaje científico uordinario para determinar su validez.
El lenguaje de paráfrasis sería, en tal caso, un instrumento entre otros con que el lógico
resuelve su tarea fundamental, a saber, lo enunciado en (1).
(3) La lógica debe ser formal. La preservación de la verdad de premisas a conclusión es
inmune al reemplazo del vocabulario no lógico de un argumento.
(4) Otra función de la lógica, menos advertida, pero...