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Si una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad representa el numero de repeticiones necesarias de un experimento de Bernoulli para obtener el primer éxito, entonces tiene por función de densidad: X-1

P (x=x) = función de densidad, de la variable aleatoria con distribución geométrica.
X Numero de experimentos hasta que aparece el 1er éxito.
p probabilidad de éxitoq probabilidad de fracaso (1 - p)
Ejemplo:
Del salon el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno.
Definir éxito: sea hombre.
x = 4
p = 0.60
q = 0.40

Ejemplo:2 Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez que lanzamos un dado.
Definir éxito: sale No. 5
x = 3
p = 1/6 = 0. 1666
q = (1 -0.16660) = 0.8333
P(X=3) = (0.8333)2(0.1666) =0.1156
Ejemplo: 3
Calcular la probabilidad de que salga águila la 6ta ocasión que lanzamos una moneda.
Definir éxito: salga águila.
x = 6
p = 1/2= 0.5
q = 0.5
P(X=6) = (0.5)5(0.5)= 0.0156
Ejemplo:4
En el salón hay 8 alumnos de ojos cafés, 9 de ojos azules, 7 de ojos negros, y 10 de ojos verdes; si extraemos 6 alumnos, calcular laprobabilidad de que este ultimo tenga los ojos claros.
Definir éxito: tenga ojos claros.
X = 6
p = 0.5588
q = 1- 0.5588 = 0.4412
P(X=6) = (0.4412)5(0.5588) = 0.0093 = 9.3418 x 10
Ejemplo:5
Una maquina detecta fallas en los productos que elabora una fabrica. Si los productos tienen una probabilidad de falla del 5%, calcular la probabilidad de que la maquina encuentre su primer producto defectuoso en laoctava ocasión que selecciona un producto para su inspección.
Definir éxito: salga defectuoso el producto.
X = 8
p = 0.05
q = 1 - 0.05 = 0.95
P(X=8) = (0.95)7(0.05) = 0.0349

La distribuci´on geom´etrica
Hemos visto que si se tira una moneda (con p = P(cruz)) n veces, entonces el n´umero de cruces se distribuye como binomial.Consideramos otro experimento relacionado. Vamos a sequirtirando la moneda hasta que veamos la primera cruz? Cuantas tiradas necesitamos?
Sea X el número de tiradas. Luego
P(X = 1) = p
P(X = 2) = (1 − p)p
P(X = 3) = (1 − p)2p
...
= ...
P(X = x) = (1 − p)x−1p
La distribución de X se llama la distribución geométrica. 346 Definici´on 39 Una variable X tiene una distribución geométrica con parámetro p si
P(X = x) = (1 − p)x−1p para x = 1, 2, . . .
Eneste caso, se escribe X _ G(p).
Teorema 14 Si X _ G(p), luego E[X] = 1
p,
V [X] = 1−p
p2 y DT[X] =
r
1−p
p2 .

Ejemplo 161 Volvemos al Ejemplo 155. ¿Cuál es la probabilidad de que Ronaldo marque
por primera vez en su quinto penalti?¿Cuál es el número esperado de penaltis que necesita para marcar?
Sea X el número de penaltis que necesita para marcar su primer gol. Luego X _ G(0,8).
P(X =5) = 0,24 × 0,8 = ,00128
La esperanza de X es 1/0,8 = 1,2 penaltis.

Ejemplo 162 En el Ejemplo 154, supongamos qué se va a inspeccionar piezas hasta encontrar
la primera pieza defectuosa. ¿Cu´al es la probabilidad de que se necesiten inspeccionar 4 o menos piezas para encontrar la primera pieza defectuosa? Sea Y el número de inspecciones necesarios.
Luego Y _ G(0,03).
P(Y _ 4) =
X4
y=1P(Y = y)
=
X4
y=1
0,97y × 0,03
_ 0,115
El número esperado de inspecciones necesarias
seria 1/0,03 = 33.˙3.

7. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
 
Esta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.
 Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.
 
Solución:
Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la...