Tecnologo

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
PROYECTO DE AULA
MATEMÁTICAS
“matrices”
Pertenece a: ANGIE MICHELLE ORTEGA BAJAÑA


MATRICES
Definición:
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue deotro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3,...
El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y unelemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
TIPOS DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:  
Matrices cuadradas  
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Sedice que una matriz cuadrada n ´ n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.  
Ejemplo:  Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.  
 

Matriz identidad
  
Sea A = (a j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann.  La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementosdiagonales.  
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, 
A· I = I ·A = A.  
 
Matrices triangulares  

Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal soniguales a cero. Así pues, las matrices

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
   
Matrices diagonales  

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag. (d11, d22, ..., dnn  ).
Por ejemplo:  

Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por    diag(3,-1,7)  diag(4,-3)  y  diag(2,6,0,-1).
 





TRASPUESTA DE UNA MATRIZ 
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.  
Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m x n, entonces AT =  es la matriz n x m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:  
1.  (A + B)T = AT + BT.
2.  (AT)T = A.
3.  (kA)T = kAT (si k es un escalar).4.  (AB)T = BTAT.
 
Matrices simétricas  

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT-A.  
Ejemplo:  
Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B  los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.
A simplevista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.
 



Matrices ortogonales  
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.  
Consideremos una matriz 3 X 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

 
Matrices normales  
Una matriz es normalsi conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.  
Ejemplo:

 

 

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal












SUMA Y RESTA DE MATRICES
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden...