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´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

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´ 0. TEMAS BASICOS ´ 0.2. EL PRINCIPIO DE INDUCCION
0.2.1. Definici´n o
Sea N = {1, 2, 3, . . .} el conjunto de los n´meros naturales, y P (n) una cierta propiedad que puede ser o u no cierta para cada n´mero natural n. El principio de inducci´n matem´tica afirma que si: u o a i) P (1) es cierta, es decir, el n´meronatural 1 verifica la propiedad, y u e ii) suponiendo que P (k) es cierta se puede probar que P (k + 1) tambi´n es cierta, entonces, cualquier n´mero natural verifica la propiedad. u

0.2.2. Observaciones
1. El principio de inducci´n se basa en que los n´meros naturales forman un conjunto cuyo primer o u elemento es el 1 y que est´ bien ordenado (todo subconjunto suyo tiene un primer elemento). a 2.Si la hip´tesis i), “P (1) es cierta”, se cambia por “P (n0 ) es cierta”, con n0 ∈ N, entonces el principio o de inducci´n concluye que la propiedad es cierta para cualquier n´mero natural n ≥ n0 . o u

0.2.3. Ejemplos
1. Demuestra que para cualquier n´mero natural n se cumple que: u 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2

Soluci´n: En primer lugar, es f´cil comprobar que la propiedad es ciertapara n = 1: o a 1= 1(1 + 1) 2

Ahora, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple: 1 + 2 + 3 + ... + k = hay que probar que se cumple para n = k + 1: 1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + . . . + k) + (k + 1) = k(k + 1) + (k + 1) = 2 k(k + 1) + 2(k + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1)[(k + 1) + 1] = = = 2 2 2 k(k + 1) 2

lo que asegura que la propiedad es ciertapara n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´n o matem´tica, la propiedad es cierta para cualquier n´mero natural. a u u 2. Demuestra que para cualquier n´mero natural n se cumple que: 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = Soluci´n: La propiedad es cierta para n = 1: o 12 = 1(1 + 1)(2 · 1 + 1) 6 n(n + 1)(2n + 1) 6

y, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple: 12 + 22+ 32 + . . . + k 2 = k(k + 1)(2k + 1) 6

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a hay que probar que se cumple para n = k + 1: 12 + 22 + 32 + . . . + k 2 + (k + 1)2 = 12 + 22 + 32 + . . . + k 2 + (k + 1)2 = =

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k(k + 1)(2k + 1) k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 + (k + 1)2 = = 6 6 (k + 1) 2k 2 + k + 6k + 6 (k + 1) 2k 2 + 7k + 6 = = = 6 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) (k +1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] = = 6 6

lo que asegura que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´n o matem´tica, la propiedad es cierta para cualquier n´mero natural. a u u 3. Demuestra que para cualquier n´mero natural n se cumple que n3 − n es divisible por 6. Soluci´n: La propiedad es cierta para n = 1: o 13 − 1 = 0 que es divisible por 6 y, suponiendoque la propiedad es cierta para n = k, es decir, que k 3 − k es divisible por 6: k 3 − k = 6p hay que probar que se cumple para n = k + 1. Operando: (k + 1)3 − (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − k − 1 = k 3 + 3k 2 + 2k = (k 3 − k) + 3k 2 + 3k = 6p + 3k(k + 1) y teniendo en cuenta que el producto de un n´mero por su siguiente es m´ltiplo de 2, ya que alguno u u de ellos es par, se cumple que: (k + 1)3− (k + 1) = 6p + 3k(k + 1) = 6p + 3 · 2q = 6(p + q) de donde se concluye que es m´ltiplo de 6 y la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por u el principio de inducci´n matem´tica, la propiedad es cierta para cualquier n´mero natural. o a u u 4. Demuestra que para cualquier n´mero natural n ≥ 4 se cumple que 2n < n!. Soluci´n: La propiedad es cierta para n = 4: o 24 = 16 4! = 24 =⇒ 24 < 4!Suponiendo que la propiedad es cierta para n = k: 2k < k! es decir, que 2k − k! < 0 hay que probar que se cumple para n = k + 1. Puesto que 2 < k + 1, para k ≥ 4, entonces: 2k+1 − (k + 1)! = 2 · 2k − (k + 1)k! < (k + 1)2k − (k + 1)k! = (k + 1)(2k − k!) < 0 de donde se deduce que 2k+1 < (k + 1)! y la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducci´n matem´tica, la...